Question

6．已知地球绕太阳做圆周运动的轨道半径的三次方与周期的二次方之比为k，万有引力常量为G．求：
（1）太阳的质量M；
（2）若已知地球绕太阳做圆周运动的周期为T，火星和地球绕太阳运动环绕太阳方向相同，轨道平面近似在同一个平面上，火星绕太阳做圆周运动的周期为1.9T，求地球与火星相邻两次距离最近时的时间间隔t．

Answer 1

分析 （1）万有引力提供地球做圆周运动的向心力，应用牛顿第二定律可以求出太阳的质量；
（2）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律求出周期，两星转过的角度之差△θ=2π时，火星与地球相邻再次相距最近，从而求出时间．

解答 解：（1）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，整理得：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{GM}{4{π}^{2}}$=k，
解得，太阳质量：M=$\frac{4k{π}^{2}}{G}$；
（2）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，
加速度：ω=$\frac{2π}{T}$，
根据圆周运动规律，地球再一次与火星相距最近的条件是：
ω_地t-ω_火t=2π，ω_地=$\frac{2π}{T}$，ω_火=$\frac{2π}{{T}_{火}}$，
联立解得：t=$\frac{T{T}_{火}}{{T}_{火}-T}$=$\frac{19}{9}$T≈2.1T；
答：（1）太阳的质量M为$\frac{4k{π}^{2}}{G}$；
（2）地球与火星相邻两次距离最近时的时间间隔t为2.1T．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题；本题的解题关键是：确定地球与火线相距最近的条件．