Question

9．如图所示，aa′、bb′为在同一水平面内的两条相距为d的平行长直金属导轨，其上平行地静置有两根可在导轨上无摩擦滑动的金属棒A和B，两金属棒的质量均为m，电阻均为R，棒与导轨接触良好，其他电阻不计，两导轨间有磁感应强度为B的匀强磁场，其方向垂直轨道平面竖直向下．今在极短时间对金属棒A施加一个水平向右的冲量I₀，从而使两棒在导轨平面上运动，最终A、B两棒恰能相碰．在整个过程中，求：
（1）在每根棒上产生的热量Q；
（2）流过每根棒上的电量q；
（3）A、B两棒最初的距离x．

Answer 1

分析 （1）先由动量定理求出A棒获得的初速度．最终A、B两棒恰能相碰，速度相同，对于两棒组成的系统，合外力为零，系统的动量守恒，由动量守恒定律求两棒的共同速度．再由能量守恒求热量Q．
（2）以任意一棒为研究对象，根据动量定理求电量q．
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式结合求解距离x．

解答 解：（1）对A棒有：I₀=mv₀，
得：v₀=$\frac{{I}_{0}}{m}$
AB系统的动量守恒，A、B两棒恰能相碰时，达共同速度，取向右为正方向，根据动量守恒定律得：
mv₀=2mv，
得：v=$\frac{{v}_{0}}{2}$
由能量守恒得：Q_总=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$=$\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}$
每根棒上产生的热量为：Q_A=Q_B=$\frac{1}{2}{Q}_{总}$=$\frac{1}{8}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{{I}_{0}^{2}}{8m}$
（2）以B棒为研究对象，根据动量定理得：
B$\overline{I}$d•△t=mv
又 q=$\overline{I}$△t
解得：q=$\frac{mv}{dB}$=$\frac{{I}_{0}}{2Bd}$
（3）根据q=$\overline{I}$△t，$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2R}$，$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B△S}{△t}$=$\frac{Bdx}{△t}$
联立解得：x=$\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{d}^{2}}$=$\frac{R{I}_{0}}{{B}^{2}{d}^{2}}$
答：（1）在每根棒上产生的热量Q是$\frac{{I}_{0}^{2}}{8m}$；
（2）流过每根棒上的电量q是$\frac{{I}_{0}}{2Bd}$；
（3）A、B两棒最初的距离x是$\frac{R{I}_{0}}{{B}^{2}{d}^{2}}$．

点评 本题是双棒问题，首先分析清楚两棒的运动过程，明确系统的动量守恒、能量守恒，知道动量定理是求电量的常用方法，能根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律与电流定义式求距离．