Question

7．人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，已知该行星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高为h处，运行周期为T，引力常量为G．求：
（1）该行星的质量；
（2）该行星的平均密度；
（3）设想在该行星表面发射一颗绕其环绕的卫星，则最小的发射速度为多大？

Answer 1

分析 （1）空间探测器绕该行星做匀速圆周运动，行星的万有引力提供向心力，结合万有引力定律即可求出行星的质量．
（2）行星看做球体，根据密度公式求行星密度；
（3）在该行星表面发射一颗绕其环绕的卫星，则最小的发射速度即求第一宇宙速度

解答 解：（1）探测器绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得行星质量：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）行星的体积$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
行星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
（3）行星表面发射一颗绕其环绕的卫星，则最小的发射速度即第一宇宙速度$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}R}}$
答：（1）该行星的质量为$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）该行星的平均密度$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$；
（3）设想在该行星表面发射一颗绕其环绕的卫星，则最小的发射速度为$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}R}}$

点评 此题一定明确万有引力提供向心力，会用周期表示向心力，还要知道球体的体积公式及密度公式，同时注意公式间的化简