Question

1．如图所示，竖直平面内的直角坐标系中，在y＞0区域内，有沿y轴负方向的匀强电场；在y＜0的区域内，有沿y轴正方向、大小和y＞0区域相等的匀强电场、以及垂直纸面的匀强磁场（图中没有标出）．一质量为m、电荷量为+q的微粒从y轴上P点，以沿x轴正方向、大小为2$\sqrt{gl}$的初速度开始运动．当微粒第一次穿过x轴时，恰好到达Q点；当微粒第二次穿过x轴时，恰好到达坐标原点；当微粒第三次穿过x轴时，恰好到达S点．已知P、Q两点到坐标原点的距离分别为l、2l，重力加速度为g．求：
（1）电场强度E的大小；
（2）磁感应强度B的大小和方向；
（3）S点横坐标及微粒从P运动到S经历的时间．

Answer 1

分析 （1）由题意，微粒在x轴上方做类平抛运动，将运动分解，即可求出电场强度的大小；
（2）对微粒减小受力分析知，微粒受到的电场力与重力大小相等，方向相反，所以洛伦兹力通过向心力，画出运动的轨迹，结合几何关系求出半径，然后又洛伦兹力通过向心力即可求出磁感应强度，由左手定则判断出磁场的方向；
（3）微粒再次返回x轴上方后，做类斜上抛运动，将运动分解，即可求出S的坐标；分别求出各段的时间求和即可．

解答 解：（1）由题意，微粒在x轴上方做类平抛运动，水平方向：2l=v₀t
竖直方向：$l=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
联立得：$t=\sqrt{\frac{l}{g}}$，a=2g
微粒受到重力和电场力的作用，由牛顿第二定律：
qE+mg=ma
所以：E=$\frac{mg}{q}$
（2）微粒到达Q点时：${v}_{y}=at=2g•\sqrt{\frac{l}{g}}=2\sqrt{gl}$
所以：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=2\sqrt{2gl}$
速度与x轴的夹角：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{2\sqrt{gl}}{2\sqrt{gl}}=1$
可知微粒与x轴之间的夹角是45°
微粒在x轴下方受到重力、电场力和洛伦兹力到达作用，由于在x轴下方电场力的方向向上，与重力相等相等，所以微粒做匀速圆周运动，微粒恰好到达O点，则运动的轨迹如图，由左手定则可得，磁场的方向向外，由图中几何关系得：
$R=\frac{OQ}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}l$
微粒做圆周运动，则：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以：$B=\frac{mv}{qR}=\frac{2m}{ql}•\sqrt{gl}$

（3）如图，由对称性可知，微粒返回x祝上方后的速度仍然是$2\sqrt{2gl}$，方向与x轴之间的夹角仍然是45°，在第一象限中做类斜上抛运动，运动的时间：
$t′=\frac{2{v}_{y}}{a}=\frac{2×2\sqrt{gl}}{2g}=2\sqrt{\frac{l}{g}}$
水平方向的位移：$x={v}_{0}•t′=2\sqrt{gl}•2\sqrt{lg}=4l$
由图可知，微粒在磁场中运动的时间是$\frac{3}{4}$T，即：$t″=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}•\frac{2πR}{v}=\frac{3}{4}π\sqrt{\frac{l}{g}}$
微粒运动的总时间：${t}_{总}=t+t′+t″=\sqrt{\frac{l}{g}}+2\sqrt{\frac{l}{g}}+\frac{3π}{4}\sqrt{\frac{l}{g}}=（3+\frac{3π}{4}）\sqrt{\frac{l}{g}}$
答：（1）电场强度E的大小是$\frac{mg}{q}$；
（2）磁感应强度B的大小是$\frac{2m}{ql}•\sqrt{gl}$，方向垂直于纸面向外；
（3）S点横坐标是4l；微粒从P运动到S经历的时间是$（3+\frac{3π}{4}）\sqrt{\frac{l}{g}}$．

点评 解决本题的关键知道粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类平抛运动和类斜上抛运动，结合粒子在磁场中的半径公式和周期公式进行求解．