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20.如图所示,真空中有以(r,0)为圆心、半径为r的圆柱形匀强磁场区域,磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里,在y=r的上方足够大的范围内,有方向水平向左的匀强电场,电场强度的大小为E,从O点向不同方向发射速率相同的质子,质子的运动轨迹均在纸面内.设质子在磁场中的轨道半径也为r,已知质子的电量为e,质量为m,不计重力及阻力的作用.求:
(1)质子射入磁场时的速度大小;
(2)速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子,到达y轴所需的时间;
(3)速度方向与x轴正方向成30°角(如图所示)射入磁场的质子,到达y轴的位置坐标,并画出质子运动轨迹的示意图.

分析 (1)质子射入磁场后做匀速圆周运动,洛伦兹力充当向心力,由牛顿第二定律求速度.
(2)质子沿x轴正向射入磁场后经$\frac{1}{4}$圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场,在磁场中运动的时间t1=$\frac{1}{4}$T;进入电场后做类平抛运动,由运动学公式求电场中运动的时间,即可求得总时间.
(3)若质子速度方向与x轴正方向成30°角射入磁场,在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场,画出轨迹,由几何关系的运动学公式结合求出到达y轴的位置坐标.

解答 解:(1)质子射入磁场后做匀速圆周运动,
由牛顿第二定律得:evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$①
解得:v=$\frac{Ber}{m}$②;
(2)质子沿x轴正向射入磁场后经$\frac{1}{4}$圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场,
在磁场中运动的时间t1=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}×\frac{2πm}{Be}=\frac{πm}{2Be}$③
进入电场后做抛物线运动,沿电场方向运动r后到达y轴,
因此有:t2=$\sqrt{\frac{2r}{a}}=\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$④
质子的运动时间为:t=t1+t2=$\frac{πm}{2Be}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$⑤
(3)质子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场,如图所示.
P点距y轴的距离x1=r+r•sin30°=1.5r ⑥
因此可得质子从进入电场至到达y轴所需时间为:t3=$\sqrt{\frac{3mr}{eE}}$⑦
质子在电场中沿y轴方向做匀速直线运动,
因此有:y′=vt3=Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$⑧
质子到达y轴的位置坐标为:y=r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$⑨
答:(1)质子射入磁场时的速度大小是$\frac{Ber}{m}$;
(2)速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子,到达y轴所需的时间为$\frac{πm}{2Be}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$;
(3)速度方向与x轴正方向成30°角(如图中所示)射入磁场的质子,到达y轴的位置坐标是(0,r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$).

点评 本题主要考查了带电粒子在电场和磁场中的运动情况和基本公式,明确带电粒子在磁场中的圆周运动和电场中的类平抛运动,灵活应用几何关系求解,属于中等难度的题目.

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