Question

20．如图所示，真空中有以（r，0）为圆心、半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，在y=r的上方足够大的范围内，有方向水平向左的匀强电场，电场强度的大小为E，从O点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均在纸面内．设质子在磁场中的轨道半径也为r，已知质子的电量为e，质量为m，不计重力及阻力的作用．求：
（1）质子射入磁场时的速度大小；
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子，到达y轴所需的时间；
（3）速度方向与x轴正方向成30°角（如图所示）射入磁场的质子，到达y轴的位置坐标，并画出质子运动轨迹的示意图．

Answer 1

分析 （1）质子射入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律求速度．
（2）质子沿x轴正向射入磁场后经$\frac{1}{4}$圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场，在磁场中运动的时间t₁=$\frac{1}{4}$T；进入电场后做类平抛运动，由运动学公式求电场中运动的时间，即可求得总时间．
（3）若质子速度方向与x轴正方向成30°角射入磁场，在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场，画出轨迹，由几何关系的运动学公式结合求出到达y轴的位置坐标．

解答 解：（1）质子射入磁场后做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$①
解得：v=$\frac{Ber}{m}$②；
（2）质子沿x轴正向射入磁场后经$\frac{1}{4}$圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场，
在磁场中运动的时间t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}×\frac{2πm}{Be}=\frac{πm}{2Be}$③
进入电场后做抛物线运动，沿电场方向运动r后到达y轴，
因此有：t₂=$\sqrt{\frac{2r}{a}}=\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$④
质子的运动时间为：t=t₁+t₂=$\frac{πm}{2Be}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$⑤
（3）质子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场，如图所示．
P点距y轴的距离x₁=r+r•sin30°=1.5r ⑥
因此可得质子从进入电场至到达y轴所需时间为：t₃=$\sqrt{\frac{3mr}{eE}}$⑦
质子在电场中沿y轴方向做匀速直线运动，
因此有：y′=vt₃=Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$⑧
质子到达y轴的位置坐标为：y=r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$⑨
答：（1）质子射入磁场时的速度大小是$\frac{Ber}{m}$；
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子，到达y轴所需的时间为$\frac{πm}{2Be}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$；
（3）速度方向与x轴正方向成30°角（如图中所示）射入磁场的质子，到达y轴的位置坐标是（0，r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$）．

点评 本题主要考查了带电粒子在电场和磁场中的运动情况和基本公式，明确带电粒子在磁场中的圆周运动和电场中的类平抛运动，灵活应用几何关系求解，属于中等难度的题目．