Question

10．某人站在一个星球上以速度v₁竖直上抛一物体，经t秒后物体落回手中，已知此星球的半径为R，万有引力常量为G．求：
（1）该星球的质量M
（2）现将该物体沿星球表面平抛出去，要使其不再落回此星球，则抛出的初速度v至少多大．

Answer 1

分析 （1）由竖直上抛运动规律可求得该星球的重力加速度，根据在星球表面，万有引力等于重力列式求解星球质量；
（2）若要使物体不再落后星球，应使物体绕着星球表面做匀速圆周运动，由万有引力定律充当向心力可求得抛出速度

解答 解：（1）物体向上和向下的时间相等，均为$\frac{1}{2}$t，则由速度公式可得：
v₁=g$\frac{t}{2}$；
解得：g=$\frac{2{v}_{1}}{t}$
在星球表面，万有引力等于重力，则有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2{v}_{1}{R}^{2}}{Gt}$
（2）在星球表面，要使物体不落后星球，则有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}=mg$
解得：v=$\sqrt{\frac{2{v}_{1}R}{t}}$
答：（1）该星球的质量M为$\frac{2{v}_{1}{R}^{2}}{Gt}$；
（2）现将该物体沿星球表面平抛出去，要使其不再落回此星球，则抛出的初速度v至少为$\sqrt{\frac{2{v}_{1}R}{t}}$．

点评 本题中要明确使小球不再回到星球表面是指使小球获得一定的速度而绕着星球表面做匀速圆周运动，难度适中．