Question

3．如图所示，A是高为H=5m的平台，与轨道PQMN在同一竖直平面上，PQMN依次为平滑连接的滑行轨道，其中PQ段与水平面成θ=37°，P端离地面高h=3.2m，QMN由半径为R₁=10m的凹行圆弧轨道和平滑凸行轨道组成．其中M点为凹行圆弧轨道的最低点，N点为凸形轨道的最高点，N点附近轨道可看作圆心在O点半径为R₂的圆弧轨道．已知滑板及运动员的总质量m=60kg，运动员从A点水平滑出，经P点切入轨道PQ（速度方向恰好沿PQ方向），经M点后从N点水平飞出．（运动过程中可把滑板及运动员视为质点，忽略摩擦阻力和空气阻力，sin37°=0.6）
（1）设计轨道时，A到P的水平距离L应为多少？
（2）滑板滑到M点时，轨道对滑板的支持力多大？
（3）运动员从N点水平滑出轨道，设到N点时对轨道的压力大小为F_N，求F_N与轨道半径R₂的函数式，并指出该函数式中的R₂的取值范围．（假设小车与滑板在N点之前不会离开轨道）

Answer 1

分析 （1）根据速度位移公式求出P点的竖直分速度，结合平行四边形定则求出初速度，根据竖直分速度求出平抛运动的时间，从而求出水平位移．
（2）根据平行四边形定则求出P点的速度，结合动能定理求出M点的速度，根据牛顿第二定律求出支持力的大小．
（3）根据动能定理求出N点的速度，结合牛顿第二定律求出压力与半径R₂的函数式，抓住N点的速度大于等于零，以及N点的压力大于等于零，求出R₂的取值范围．

解答 解：（1）根据平行四边形定则知，tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，
又${v}_{y}=\sqrt{2g（H-h）}$=$\sqrt{2×10×1.8}$m/s=6m/s．
解得${v}_{0}=\frac{{v}_{y}}{\frac{3}{4}}=\frac{6}{\frac{3}{4}}m/s=8m/s$，
A与P的水平距离L=${v}_{0}•\frac{{v}_{y}}{g}=8×\frac{6}{10}m=4.8m$．
（2）P点的速度${v}_{p}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{64+36}$m/s=10m/s，
根据动能定理得，$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{p}}^{2}$，
在M点，有：$N-mg=m\frac{{{v}_{M}}^{2}}{R}$，
代入数据，联立解得N=1584N．
（3）根据动能定理得，$-mg{R}_{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}$，
在N点，mg-N′=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，
则F_N=N′=$1800-\frac{9840}{{R}_{2}}$，
因为F_N≥0，则R₂≥5.47m，
因为v≥0，解得R₂≤8.2m．
所以5.47m≤R₂≤8.2m．
答：（1）A到P的水平距离L应为4.8m．
（2）轨道对滑板的支持力为1584N．
（3）F_N与轨道半径R₂的函数式为F_N=$1800-\frac{9840}{{R}_{2}}$，R₂的取值范围5.47m≤R₂≤8.2m．

点评 本题考查了圆周运动、平抛运动与动能定理的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．