Question

12．如图，在水平轨道上竖直安放一个与水平面夹角为θ，长度为L₀，顺时针匀速转动的传送带和一半径为R的竖直圆形光滑轨道，水平轨道PQ段铺设特殊材料，其长度L可调；水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态，可视为质点的小物块A由传送带顶端静止释放，通过传送带、圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹回．已知R=0.2m，θ=37°，L₀=1.6m，L=1.5m，物块A质量为m=1kg，与传送带间的动摩擦因数μ₁=0.125，与PQ段间的动摩擦因数μ₂=0.2，不计轨道其他部分摩擦及物块从传送带滑到水平轨道时机械能的损失．取g=10m/s²，求：
（1）物块A从传送带顶端滑到底端时速度的大小；
（2）弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能；
（3）若物块A仍由传送带顶端静止释放，调节PQ段的长度L，使物块A能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不脱离，L应满足何条件．

Answer 1

分析 （1）以物块在传送带上为研究对象，根据动能定理求解；
（2）小物块A从传送带底端至弹簧被压缩到最短的过程中，根据能量守恒求解最大弹性势能；
（3）分小物块A能返回圆形轨道，能不能通过最高点两种情况求解，注意动能定理和圆周运动基本公式得联合应用．

解答 解：（1）小物体A从传送带滑下过程有：mg${L}_{0}sinθ{-μ}_{1}mg{L}_{0}cosθ=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得：v₁=4m/s
（2）小物块A从传送带底端至弹簧被压缩到最短的过程中，有：
${E}_{P}{+μ}_{2}mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得：E_P=5J
（3）若小物块A能返回圆形轨道，但不能通过最高点，则A从冲上圆形轨道至返回圆形轨道上升到最大高度的过程有：
$-mgh-{2μ}_{2}mgL=0-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$①
0＜h≤R②
由①②解得：1.5m≤L＜2m
若小物块A能返回圆形轨道，但能通过最高点，则A从冲上圆形轨道至返回圆形轨道最高点的过程有：
$-2mgR-{2μ}_{2}mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$③
$mg+N=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$④
N≥0⑤
由③④⑤得：L≤0.75m
综上可知，L应满足的条件为L≤0.75m或1.5m≤L＜2m．
答：（1）物块A从传送带顶端滑到底端时速度的大小为4m/s；
（2）弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能为5J；
（3）若物块A仍由传送带顶端静止释放，调节PQ段的长度L，使物块A能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不脱离，L应满足何条件为L≤0.75m或1.5m≤L＜2m．

点评 本题主要考查了动能定理、圆周运动向心力公式的直接应用，此题难度较大，牵涉的运动模型较多，物体情境复杂，关键是按照运动的过程逐步分析求解，