Question

15．如图所示，两条平行的金属导轨相距L=1m，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为37°，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中．金属棒MN和PQ的质量均为m=0.2kg，电阻分别为R_MN=1Ω和R_PQ=2Ω．MN置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.5，PQ置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且接触良好．从t=0时刻起，MN棒在水平外力F₁的作用下由静止开始以a=1m/s²的加速度向右做匀加速直线运动，PQ则在平行于斜面方向的力F₂作用下保持静止状态．t=3s时，PQ棒消耗的电功率为8W，不计导轨的电阻，水平导轨足够长，MN始终在水平导轨上运动．求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）0～3s时间内通过MN棒的电荷量；
（3）求t=6s时F₂的大小和方向；
（4）若改变F₁的作用规律，使MN棒的运动速度v与位移x满足关系：v=0.4x，PQ棒仍然静止在倾斜轨道上．求MN棒从静止开始到x=5m的过程中，系统产生的焦耳热量．

Answer 1

分析 （1）t=3s时，PQ棒消耗的电功率为8W，由功率公式P=I²R可求出电路中电流，由闭合电路欧姆定律求出感应电动势．已知MN棒做匀加速直线运动，由速度时间公式求出t=3s时的速度，即可由公式E=BLv求出磁感应强度B；
（2）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式推导出感应电荷量的表达式 q=$\frac{△Φ}{{R}_{总}}$，代入数据可求得通过MN棒的电荷量；
（3）根据速度公式v=at、感应电动势公式E=BLv、闭合电路欧姆定律 I=$\frac{E}{{R}_{总}}$、安培力公式F=BIL结合，可求出PQ棒所受的安培力大小，再由平衡条件求解F₂的大小和方向；
（4）改变F₁的作用规律时，MN棒做变加速直线运动，因为速度v与位移s成正比，所以电流I、安培力也与位移s成正比，可根据安培力的平均值求出安培力做功，系统产生的热量等于克服安培力，即可得解．

解答 解：（1）t=3s时，PQ棒消耗的电功率为8W，则有：P=I²R_PQ；
得：I=$\sqrt{\frac{P}{{R}_{PQ}}}$=$\sqrt{\frac{8}{2}}$A=2A
此时MN棒将产生感应电动势为：E=I（R_PQ+R_PQ）=2×（1+2）V=6V
MN棒做匀加速直线运动，t₁=3s时速度为：v=at₁=1×3mm/s=3m/s
由E=BLv得：B=$\frac{E}{Lv}$=$\frac{6}{1×3}$T=2T        
（2）t₁=3s时MN棒通过的位移为：x=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{3}^{2}$m=4.5m
回路磁通量的变化量为：△Φ=BLx=2×1×4.5Wb=9Wb
根据法拉第电磁感应定律得：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
通过MN棒的电荷量为：q=$\overline{I}$△t=$\frac{\overline{E}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$△t=$\frac{△Φ}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$=$\frac{9}{1+2}$C=3C
（3）t=6s时MN棒的速度为：v₂=at₂=1×6m/s=6m/s
感应电动势为：E₂=BLv₂=2×1×6V=12V
感应电流为：I₂=$\frac{{E}_{2}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$=$\frac{12}{1+2}$A=4A
则PQ棒所受的安培力为：F_安=BI₂L=2×4×1N=8N
规定沿斜面向上为正方向，对PQ进行受力分析可得：
F₂+F_安cos37°=mgsin37°
代入数据：F₂=-5.2N  （负号说明力的方向沿斜面向下）
（4）MN棒做变加速直线运动，当s=5m时，有：v_t=0.4s=0.4×4m/s=2m/s
因为速度v与位移s成正比，所以电流I、安培力也与位移s成正比，平均安培力就等于安培力的平均值，则
安培力做功为：W_安=-$\frac{{F}_{安}+0}{2}$s=-$\frac{1}{2}$•BL$\frac{BL{v}_{t}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$•s=-$\frac{20}{3}$J
根据功能关系可得：系统产生的焦耳热量为：Q=-W_安=$\frac{20}{3}$J
答：
（1）磁感应强度B的大小是2T；
（2）t=0～3s时间内通过MN棒的电荷量为3C；
（3）t=6s时F₂的大小为5.2N，方向沿斜面向下；
（4）MN棒从静止开始到s=5m的过程中，系统产生的焦耳热量为$\frac{20}{3}$J．

点评 本题是双杆类型，分别研究它们的情况是解答的基础，运用力学和电路、电磁感应的规律研究MN棒，其中对于感应电荷量，要熟悉一般表达式q=n$\frac{△Φ}{R+r}$，知道△φ与棒的位移有关．本题关键要抓住安培力与位移是线性关系，安培力的平均值等于初末时刻的平均值，从而可求出安培力做功．