Question

6．如图所示，一光滑圆锥体固定在水平面上，OC⊥AB，∠AOC=30°，一条不计质量，长为l（l＜OA）的细绳，一端固定在顶点O，另一端栓一质量为m的物体（看做质点）．求：
（1）当小球绕圆锥体表面做匀速圆周运动且对锥体表面无压力时小球运动的线速度大小；
（2）当物体以速度v₀=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$绕圆锥体的轴OC在水平面内做匀速圆周运动时，物体和圆锥面之间的相互作用力多大．

Answer 1

分析 求出物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．

解答 解：（1）当物体刚好对锥体表面无压力时，对小球受力分析，合力提供向心力，则有：
Tcosθ-mg=0，Tsinθ=$\frac{{v}^{2}}{R}$，R=Lsinθ
解得：v=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gl}{6}}$，
（2）v₀=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$＜v，则有：${T}_{1}sinθ-{N}_{1}cosθ=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得：${T}_{1}=\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$，${N}_{1}=\frac{6-\sqrt{3}}{6}mg$
答：（1）当小球绕圆锥体表面做匀速圆周运动且对锥体表面无压力时小球运动的线速度大小为；
（2）当物体以速度v₀=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$绕圆锥体的轴OC在水平面内做匀速圆周运动时，物体和圆锥面之间的相互作用力为$\frac{6-\sqrt{3}}{6}mg$．

点评 解决本题的关键找出物体的临界情况，知道物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，能够熟练运用牛顿第二定律求解，难道适中．