Question

18．如图所示，倾角为θ的斜面光滑，自斜面上某处以速度v与斜面夹角为Φ的方向向斜面上抛出一质点（设质点与斜面间的碰撞是完全弹性的，即球入射方向与反射遵循光的反射定律），斜面足够长，要求质点最后仍能回到原出发点．问：Φ角应满足什么条件？

Answer 1

分析 整个过程中，质点只有重力做功，故机械能守恒，显然，若质点能回到原出发点，则它沿斜面向上的运动和向下的运动一定是相对称的，即质点沿斜面方向运动到其能达到的最高点后，沿原路返回．满足以上条件的有两种情况：一是质点最后一次与斜面相碰时，其速度方向刚好与斜面垂直，则其反射起来的速度与其碰前的速度大小相等方向相反；二是质点最后一次与斜面相碰后，反弹的速度沿竖直方向，然后再落后，“反演”此前的运动，也可以回到原出发点．根据以上两种情况进行分析．

解答 解：（1）建立如图所示的坐标系，设质点沿垂直斜面的方向以某一速度抛出，在质点再次与斜面相碰前，质点在空中运动的加速度分量分别为：
a_x=gsinθ
a_y=-gcosθ
在某一时刻t时，质点的速度两分量为：
v_y=v₀-gcosθt
v_x=gsinθt
质点的位置坐标为：
x=$\frac{1}{2}$gsinθt²
y=v₀t-$\frac{1}{2}$gcosθt²
由上式令y=0得质点由出发至第一次与斜面相碰所经历的时间为：
T=$\frac{2{v}_{0}}{gcosθ}$
此时质点的速度分量为：
v_y=-v₀；
v_x=gsinθT
质点由斜面反弹起来时，其垂直于斜面方向的速度大小为v₀，可见此后质点每两次与斜面相碰的时间间隔为T，则质点第n次与斜面相碰时的速度分量分别为
v_y=-v₀
v_x=gsinθ•nT
令此时速度方向与斜面间的夹角为Φ，则有
tanΦ=|$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$|=$\frac{{v}_{0}}{ngsinθ-\frac{2{v}_{0}}{gcosθ}}$=$\frac{ctgθ}{2n}$（n=1，2---）
（2）设质点由空中自由下落到斜面上，与斜面相碰时速度为v0，仍在图中所示的坐标系中，由上分析可得：质点连续两次与斜面相碰的时间间隔为：
T=$\frac{2{v}_{0}cosθ}{gcosθ}$=$\frac{2{v}_{0}}{g}$；
此后，质点第n次与斜面相碰时其速度分量为：
v_x=v₀sinθ+gsinθ（n-1）T
v_y=-v₀cosθθ
由以上三式解得，质点第n次与斜面相碰时，速度方向与斜面间的夹角Φ满足：
tanΦ=|$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$|=$\frac{{v}_{0}ctgθ}{{v}_{0}+2{v}_{0}（n-1）}$=$\frac{ctgθ}{2n-1}$（n=1，2---）
（3）由以上分析可知，若将运动情况逆转，则依以上两问题中的结论可确定的Φ角方向抛出质点，则质点将沿原路返回；由以上分析可知，在斜面上抛出质点的速度方向与斜面的夹角只要满足tanΦ=$\frac{ctgθ}{k}$（k=1，2--）时，质点便能返回原出发点．
答：Φ角应满足条件为tanΦ=$\frac{ctgθ}{k}$（k=1，2--）

点评 本题考查运动的合成与分解与牛顿第二定律的应用，该题难度较大，为竞赛题目，对学生分析及应用数学规律求解物理问题的能力要求极高．