Question

10．为提高通行效率，许多高速公路出入口安装了电子不停车收费系统ETC．甲、乙两辆汽车分别通过ETC通道和人工收费通道（MTC）驶离高速公路，流程如图所示．假设减速带离收费岛口x=60m，收费岛总长度d=40m，两辆汽车同时以相同的速度v₁=72km/h经过减速带后，一起以相同的加速度做匀减速运动．甲车减速至v₂=36km/h后，匀速行驶到中心线即可完成缴费，自动栏杆打开放行；乙车刚好到收费岛中心线收费窗口停下，经过t₀=15s的时间缴费成功，人工栏打开放行．随后两辆汽车匀加速到速度v₁后沿直线匀速行驶，设加速和减速过程中的加速度大小相等，求：

（1）此次人工收费通道和ETC通道打开栏杆放行的时间差；
（2）两辆汽车驶离收费站后相距的最远距离．

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的基本公式求出ETC通道匀减速时间和位移，再求出匀速时间，即为即为甲甲车从减速到栏杆打开的总时间；在人工收费通道匀减速时间和缴费时间之和，即为从减速到栏杆打开的总时间，即可求出总时间；
（2）当乙车从收费通道中心线出发加速到${v}_{1}^{\;}=72km/h$，与甲车达到共同速度，此时两车相距最远；

解答 解：（1）两车减速运动的加速度为：
$a=\frac{{v}_{1}^{2}}{2（x+\frac{d}{2}）}=\frac{2{0}_{\;}^{2}}{2×（60+\frac{40}{2}）}=2.5m/{s}_{\;}^{2}$
甲车减速到${v}_{2}^{\;}$所用时间为${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}}{a}=\frac{20-10}{2.5}s=4s$
走过的距离为${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{20+10}{2}×4=60m$
甲车从匀速运动到栏杆打开所用时间为
${t}_{2}^{\;}=\frac{（x+\frac{d}{2}-{x}_{1}^{\;}）}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{60+\frac{40}{2}-60}{10}=2s$
甲车从减速到栏杆打开的总时间为${t}_{甲}^{\;}={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=4+2=6s$
乙车减速行驶到收费岛中心线的时间为${t}_{3}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{a}=\frac{20}{2.5}s=8s$
从减速到打开栏杆的总时间为${t}_{乙}^{\;}={t}_{0}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=15+8=23s$
人工收费通道和ETC通道打开栏杆放行的时间差$△t={t}_{乙}^{\;}-{t}_{甲}^{\;}=23-6=17s$
（2）乙车从收费岛中心线开始出发又经${t}_{3}^{\;}=8s$加速到${v}_{1}^{\;}=72km/h$，与甲车达到共同速度，此时两车相距最远．这个过程乙车行驶的距离与之前乙车减速行驶的距离相等
${x}_{乙}^{\;}=x+\frac{d}{2}=60+\frac{40}{2}=80m$
从收费岛中心线开始，甲车先从${v}_{2}^{\;}=36km/h$加速至${v}_{1}^{\;}=72km/h$，这个时间为${t}_{1}^{\;}=4s$，然后匀速行驶
${x}_{甲}^{\;}={x}_{1}^{\;}+{v}_{1}^{\;}（{t}_{3}^{\;}+△t-{t}_{1}^{\;}）$=60+20×（8+17-4）=480m
故两车相距的最远距离为$△x={x}_{甲}^{\;}-{x}_{乙}^{\;}=480-80=400m$
答：（1）此次人工收费通道和ETC通道打开栏杆放行的时间差为17s；
（2）两辆汽车驶离收费站后相距的最远距离为400m

点评 解决本题的关键理清汽车在两种通道下的运动规律，结合匀变速直线运动的位移公式和时间公式进行求解，难度不大．