Question

如图所示，两金属板正对并水平放置，分别与平行金属导轨连接，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域有垂直导轨所在平面的匀强磁场．金属杆ab与导轨垂直且接触良好，并一直向右匀速运动．某时刻ab进入Ⅰ区域，同时一带正电小球从O点沿板间中轴线水平射入两板间．ab在Ⅰ区域运动时，小球匀速运动；ab从Ⅲ区域右边离开磁场时，小球恰好从金属板的边缘离开．已知板间距为4d，导轨间距为L，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域的磁感应强度大小相等、宽度均为d．带电小球质量为m，电荷量为q，ab运动的速度为v₀，重力加速度为g．求：
（1）磁感应强度的大小；
（2）ab在Ⅱ区域运动时，小球的加速度大小；
（3）要使小球恰好从金属板的边缘离开，ab运动的速度v₀要满足什么条件．

Answer 1

（1）ab在磁场区域运动时，产生的感应电动势大小为：ε=BLv₀…①
金属板间产生的场强大小为：E=

ε

4d

…②
ab在Ⅰ磁场区域运动时，带电小球匀速运动，有mg=qE…③
联立①②③得：B=

4dmg

qL v  0

…④
（2）ab在Ⅱ磁场区域运动时，设小球的加速度a，依题意，有qE+mg=ma…⑤
联立③⑤得：a=2g…⑥
（3）依题意，ab分别在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ磁场区域运动时，小球在电场中分别做匀速、类平抛和匀速运动，设发生的竖直分位移分别为S_Ⅰ、S_Ⅱ、S_Ⅲ；ab进入Ⅲ磁场区域时，小球的运动速度为v_Ⅲ．则：
S_Ⅰ=0   …⑦
S_Ⅱ=

1

2

?2g?(

d

v0

)2…⑧
S_Ⅲ=v_Ⅲ?

d

v0

…⑨v_Ⅲ=2g?

d

v0

…⑩
又：S_Ⅰ+S_Ⅱ+S_Ⅲ=2d
联立可得：v0=

3gd 2

．
答：（1）磁感应强度的大小为B=

4dmg

qL v  0

．
（2）ab在Ⅱ区域运动时，小球的加速度大小为2g．
（3）要使小球恰好从金属板的边缘离开，ab运动的速度v₀要满足v0=

3gd 2

．