Question

2．如图，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m=0.5kg的小物块，它与水平台阶表面的动摩擦因数μ=0.5，且与台阶边缘O点的距离s=5m．在台阶右侧固定了一个$\frac{1}{4}$圆弧挡板，圆弧半径R=1m，圆弧的圆心也在O点．今以O点为原点建立平面直角坐标系．现用F=5N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板．
（1）若小物块恰能击中挡板上的P点（OP与水平方向夹角为37°），求其离开O点时的速度大小；
（2）为使小物块击中挡板，求拉力F作用的最短时间；
（3）改变拉力F的作用时间，使小物块击中挡板的不同位置，求击中挡板时小物块动能的最小值．

Answer 1

分析 （1）小物块离开P点做平抛运动，根据平抛知识求解其离开O点时的速度大小；
（2）小物块能击中挡板的临界条件是能到达O点，根据运动学关系分析求解力F的作用最短时间；
（3）根据平抛运动和击中挡板的轨道公式求解小物块击中挡板时的最小动能．

解答 解：（1）小物块从O到P，做平抛运动
水平方向：Rcos37°=v₀t       
竖直方向：$Rsin37°=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由以上两式解得：${v}_{0}=\frac{Rcos37°}{\sqrt{\frac{2Rsin37°}{g}}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}m/s$
（2）为使小物块击中档板，小物块必须能运动到O点，由动能定理得：
Fx-μmgS=△E_k=0
解得：x=2.5m
由牛顿第二定律得：F-μmg=ma
解得：力F作用时的加速度a=5m/s²
由运动学公式得：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：t=1s
（3）设小物块击中挡板的任意点坐标为（x，y），则
x=v₀t
$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由机械能守恒得：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgy$
又又击中挡板满足：x²+y²=R²
化简得：${E}_{k}=\frac{mg{R}^{2}}{4y}+\frac{3mgy}{4}$，
由数学方法解得：E_kmin=$\frac{5\sqrt{3}}{2}J$
答：（1）若小物块恰能击中挡板上的P点（OP与水平方向夹角为37°），其离开O点时的速度大小为$\frac{4\sqrt{3}}{3}m/s$；
（2）为使小物块击中挡板，拉力F作用的最短时间为1s；
（3）改变拉力F的作用时间，使小物块击中挡板的不同位置，击中挡板时小物块动能的最小值为$\frac{5\sqrt{3}}{2}J$．

点评 本题是动力学、平抛运动的综合题，解决问题的关键是掌握相关动力学基础知识和平抛运动知识，在第三问中要求较好的数学功底．