Question

如图所示，光滑圆柱半径为R，被固定在水平平台上，用轻绳跨过圆柱体与两小球m₁、m₂相连（m₁、m₂分别为它们的质量），开始时让m₁放在平台上，两边绳绷直，两球从静止开始m₁上升，m₂下降．当m₁上升到圆柱的最高点时，球m₁对轨道的压力0.2m₁g，求：
（1）小球m₁上升到圆柱的最高点时，速度多大？（用g、R表示）
（2）两球从静止开始至m₁上升到圆柱的最高点，系统减少的势能为多少？
（3）m₂应为m₁的多少倍？

Answer 1

分析：（1）小球m₁上升到圆柱的最高点时，对轨道的压力0.2m₁g，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解速度；
（2）两球从静止开始至m₁上升到圆柱的最高点过程，根据E_p=mgh求解两个球重力势能的减小量；
（3）两个球组成的系统机械能守恒，根据守恒定律列式求解两球的质量关系．

解答：解：（1）当m₁上升到圆柱的最高点时，物体受重力和支持力的合力提供向心力，支持力与压力是相互作用力，等大、反向、共线，故根据牛顿第二定律有：
F_向=m₁g-0.2m₁g=m1

v2

R

解得：v=

0.8gR

（2）两球从静止开始至m₁上升到圆柱的最高点，m₁与m₂组成的系统减少的势能为：
△E_P减=m₂g（R+

2πR

4

）-m₁g?2R 
（3）根据系统机械能守恒，有：
△E_P减=△E_k增
故有：m₂g（R+

2πR

4

）-m₁g2R=

1

2

m1v2+

1

2

m2v2
解得：m₂=

24

6+5π

m₁
答：（1）小球m₁上升到圆柱的最高点时，速度为

0.8gR

；
（2）两球从静止开始至m₁上升到圆柱的最高点，系统减少的势能为m₂g（R+

2πR

4

）-m₁g2R；
（3）m₂应为m₁的

24

6+5π

倍．

点评：本题第一问关键明确重力和支持力的合力提供向心力；第二问和第三问关键明确两个小球的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解即可．