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    17．如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连．小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道．a、b为两完全相同的小球，a球由静止从A点释放，在C处与b球发生弹性碰撞．已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与斜轨AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为1.8R．求：
    （1）a球滑到斜面底端C时速度为多大？a、b球在C处碰后速度各为多少？
    （2）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足什么条件？若R′=2.5R，两球最后所停位置距D（或E）多远？注：在运算中，根号中的数值无需算出．

    分析 （1）a球从A运动至C过程，由动能定理列出等式，a、b球在C发生弹性碰撞，系统动量守恒，机械能守恒列出等式联立求解
    （2）要使小球b脱离轨道，有两种情况：情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．情况二：小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．由动能定理列出等式求解．由于a、b碰撞无能量损失，则由能量守恒定律求解．

    解答 解：（1）设a球到达C点时速度为v，a球从A运动至C过程，由动能定理有：
    mg（5Rsin37°+1.8R）-μmgcos37°•5R=$\frac{1}{2}$mv2-0…①，
    代入数据解得：v=$\sqrt{5.6gR}$…②
    a、b球在C发生弹性碰撞，系统动量守恒，机械能守恒，设a、b碰后瞬间速度分别为va、vb，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
    mv=mva+mvb…③
    由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv2=$\frac{1}{2}$mva2+$\frac{1}{2}$mvb2…④
    由②③④可得：va=0，vb=$\sqrt{5.6gR}$…⑤
    可知，a、b碰后交换速度，a静止，b向右运动．
    （2）要使小球b脱离轨道，有两种情况：
    情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．
    则小球b在最高点P应满足：m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R′}$≥mg…⑥
    小球b碰后直到P点过程，由动能定理，有
    -μmgR-mg•2R′=$\frac{1}{2}$mvP2-$\frac{1}{2}$mvb2…⑦
    由⑤⑥⑦式，可得：R′≤$\frac{23}{25}$R=0.92R，
    情况二：小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．
    则由动能定理有：-μmgR-mgR′=0-$\frac{1}{2}$mvb2…⑧
    由⑤⑧式，可得：R′≥2.3R；
    （3）若R′=2.5R，由上面分析可知，b球必定滑回D，设其能向左滑过DC轨道与a球碰撞，且a球到达B点，在B点的速度为vB，由于a、b碰撞无能量损失，则由能量守恒定律有：
    $\frac{1}{2}$mv2=$\frac{1}{2}$mvB2+mg•1.8R+2μmgR…⑨
    由⑤⑨式，可得：vB=0，
    故知，a球不能滑回倾斜轨道AB，a、b两球将在A、Q之间做往返运动，最终a球将停在C处，b球将停在CD轨道上的某处．设b球在CD轨道上运动的总路程为S，由于a、b碰撞无能量损失，则由能量守恒定律，有：$\frac{1}{2}$mv2=μmgs…⑩
    由⑤⑩两式，可得：S=5.6R，
    所以知，b球将停在D点左侧，距D点0.6R处，a球停在D点左侧，距D点R处．
    答：（1）a球滑到斜面底端C时速度为$\sqrt{5.6gR}$，a、b球在C处碰后速度各为0和$\sqrt{5.6gR}$．
    （2）要使小球在运动过程中不脱离轨道，情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．R′≤0.92R；
    小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D，R′≥2.3R，b球将停在D点左侧，距D点0.6R处，a球停在D点左侧，距D点R处．

    点评 此题要求熟练掌握动能定理、系统动量守恒、能量守恒定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度较大，属于难题．

    练习册系列答案
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