Question

8．如图所示，一棱镜的截面为直角三角形ABN，∠A=30°，斜面AB=a，在此截面所在的平面内，一条光线以45°的入射角从AN边的中点M左侧射入棱镜，已知棱镜材料的折射率为n=$\sqrt{2}$．
（1）画出光路图，并求光线从棱镜射出的点的位置（不考虑光线沿原路返回的情况）．
（2）要让光线能从AB边射出，可在AB下方铺设折射率为n₁的介质，求n₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）光线以45°的入射角时，要分入射光线在法线的右侧和左侧两种情况进行讨论研究．根据折射定律求出光线在AC面的折射角．根据几何知识确定光线在AB或BC面上入射角．求出临界角，判断在这两个面上能否发生全反射，画出光路图，求出光线从棱镜射出的点的位置离A或B点的距离．
（2）在AB下方铺设折射率为n₁的介质，要让光线能从AB边射出，光线在AB边不能发生全反射，根据全反射条件和临界角公式求解．

解答 解：（1）设入射角为i，折射角为r，由折射定律得：$\frac{sini}{sinr}$=n ①
由已知条件i=45°，n=$\sqrt{2}$，代入解得：r=30°②
设折射光线与AB的交点为D．由几何关系可知，在D点的入射角 θ=60°
设全发射的临界角为 C，则sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$           
由⑤和已知条件得：C=45°                     
因此，光线在D点全反射．画出光路图如图．
设此光线的出射点为E，由几何关系得：∠DEB=90°
可得  BD=a-2AF=a-2•$\frac{1}{2}•$acos30°•cos30°=$\frac{1}{4}$a
则 BE=BDsin30°=$\frac{1}{8}$a         
即出射点在BC边上离B点$\frac{1}{8}$a的位置．
（2）在AB下方铺设折射率为n₁的介质时，设临界角为C，则有 sinC=$\frac{{n}_{1}}{n}$
要让光线能从AB边射出，光线在AB边不能发生全反射，则必须满足：θ＜C
即有 sinθ＜sinC
联立解得：n₁＞nsinθ=$\sqrt{2}$×sin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即n₁＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
答：
（1）画出光路图如图．出射点在BC边上离B点$\frac{1}{8}$a的位置．
（2）n₁的取值范围为n₁＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题是折射定律、全反射和几何知识的综合应用，作出光路图，掌握并能判断能否发生全反射是关键．