Question

5．如图所示，有一平行板电容器左边缘在y轴上，下极板与x轴重合，极板间匀强电场的场强为E，一电量为q，质量为m的带电粒子，速度大小为$\sqrt{3}$$\frac{E}{B}$，从O点与x轴成θ角斜向上射入极板间，粒子经过K板边缘a点平行于x轴飞出电容器，立即进入一磁感应强度为B的圆形磁场（图中未画），随后从c点垂直穿过x轴离开磁场．已知∠acO=45°，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，磁场方向垂直于坐标平面向外，带电粒子重力不计，试求：
（1）粒子经过c点时速度大小
（2）圆形磁场区域的最小面积
（3）粒子从O到c所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电容器中做匀变速曲线运动，在磁场中做匀速圆周运动，画出运动轨迹，把速度分解到沿x轴方向和沿y轴方向，根据几何关系求出到达a点的速度；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，求出圆周运动的半径，再根据几何关系求出ac的长度，ac即为圆形磁场的最小直径，根据圆的面积公式求出最小面积；
（3）粒子从O到a，在y轴方向上做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律求解加速度，根据速度的分解求出沿y轴的初速度，进而求出运动的时间，粒子从a到c的过程中，运动的时间为$\frac{1}{4}T$，两段时间之和即为所求时间．

解答 解：（1）带电粒子在电容器中做匀变速曲线运动，在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示：

粒子在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀减速直线运动，经过K板边缘a点平行于x轴飞出电容器，
则粒子在x轴上的分量为v_a=vcosθ=$\sqrt{3}$$\frac{E}{B}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{E}{B}$，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则到达c点时速度大小为${v}_{c}=\frac{E}{B}$，
（2）粒子从c点垂直穿过x轴离开磁场，又已知∠acO=45°，所以粒子在磁场中运动轨迹为$\frac{1}{4}$圆弧，
则圆形磁场直径最小为ac的长度，根据几何关系得：
ac=$\sqrt{2}R$
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有：
Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\frac{m{v}_{c}}{Bq}$=$\frac{mE}{{B}^{2}q}$
所以ac=$\frac{\sqrt{2}mE}{{B}^{2}q}$，
则圆形磁场区域的最小面积S=${（\frac{ac}{2}）}^{2}π=\frac{{m}^{2}{E}^{2}π}{2{B}^{4}{q}^{2}}$
（3）粒子从O到a，在y轴方向上做匀减速直线运动，加速度大小a=$\frac{Eq}{m}$，
则粒子从O到a运动的时间${t}_{1}=\frac{vsinθ}{a}=\frac{\sqrt{2}m}{Bq}$，
粒子从a到c的过程中，运动的时间为${t}_{2}=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}×\frac{2πm}{Bq}=\frac{πm}{2Bq}$，
则粒子从O到c所经历的时间t=${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{（2\sqrt{2}+π）m}{2Bq}$．
答：（1）粒子经过c点时速度大小为$\frac{E}{B}$；
（2）圆形磁场区域的最小面积为$\frac{{m}^{2}{E}^{2}π}{2{B}^{4}{q}^{2}}$；
（3）粒子从O到c所经历的时间为$\frac{（2\sqrt{2}+π）m}{2Bq}$．

点评 本题是一道力学综合题，考查了粒子在电场、磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的关键，分析清楚运动过程后，应用牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题，难度较大，属于难题．