Question

19．如图所示的xOy坐标系中，y轴右侧空间存在范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向里．P点的坐标为（-2L，0），Q₁、Q₂两点的坐标分别为（0，L），（0，-L）．坐标为（-$\frac{1}{3}$L，0）处的C点固定一平行于y轴放置的长为$\frac{2}{3}$L的绝缘弹性挡板，C为挡板中点．带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿y方向分速度不变，沿x方向分速度反向，大小不变．带负电的粒子质量为m，电量为q，不计粒子所受重力．若粒子以不同的初速度从P点沿PQ₁方向运动到Q₁点进入磁场．求：
（1）若粒子不与挡板碰撞恰好回到P点，该粒子的初速度大小
（2）若粒子只与挡板碰撞两次并能回到P点，该粒子的初速度大小．

Answer 1

分析 （1）作出粒子运动的轨迹图，结合几何关系求出粒子在磁场中运动的轨道半径，根据半径公式求出粒子的速度．
（2）抓住与挡板碰撞两次并能回到P点，作出轨迹图，结合几何关系，运用半径公式进行求解．

解答 解：（1）由题意画出粒子运动轨迹如图（甲）所示，


设PQ₁与x轴正方向夹角为θ，粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为R₁，
由几何关系得：R₁cosθ=L
其中：$cosθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
粒子磁场中做匀速圆周运动$qvB=m\frac{{{v_1}^2}}{R_1}$
解得：${v_1}=\frac{{\sqrt{5}qBL}}{2m}$
（2）由题意画出粒子运动轨迹如图（乙）所示，

设PQ₁与x轴正方向夹角为θ，粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为R₃，
偏转一次后在y负方向偏移量为△y₁，
由几何关系得：△y₁=2R₃cosθ，
为保证粒子最终能回到P，粒子与挡板碰撞后，速度方向应与PQ₁连线平行，每碰撞一次，粒子进出磁场在y轴上这段距离△y₂（如图中A、E间距）
可由题给条件，有$\frac{{△{y_2}/2}}{L/3}=tanθ$
得$△{y_2}=\frac{L}{3}$
当粒子只碰二次，其几何条件是 3△y₁-2△y₂=2L
解得：${R_3}=\frac{{2\sqrt{5}}}{9}L$
粒子磁场中做匀速圆周运动：$qvB=m\frac{v^2}{R_3}$
解得：$v=\frac{{2\sqrt{5}qBL}}{9m}$
答：（1）粒子不与挡板碰撞恰好回到P点，该粒子的初速度大小为$\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$；
（2）若粒子只与挡板碰撞两次并能回到P点，该粒子的初速度大小为$\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，关键作出三种粒子的轨迹图，结合几何关系，运用半径公式进行求解，难度较大，对数学几何的关系要求较高，需加强这方面的训练．