Question

3．如图所示同心半圆磁场，内圆半径为r，外圆半径为R．磁场感应强度为B．AB为内圆直径．一个粒子质量为m，电量为+q，从A点射出，速度指向O点．最终粒子恰好到B点．
（1）如果粒子能以最短时间到B，磁场外圆半径至少多大？
（2）满足第一问的条件下，粒子初速满足什么条件可使粒子到B点．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，由几何关系可以求得圆周运动的半径的大小，进而求得外侧圆的大小；
（2）画出运动的可能的轨迹，由几何关系即可求出．

解答 解：（1）由于两个磁场的大小相等，所以有半径公式：$r=\frac{mv}{qB}$可知，粒子在两个磁场中运动的半径是相等的．
又由于粒子运动受到的洛伦兹力与轨迹总是垂直，所以可知粒子要到达B点，至少要在内侧磁场中运动两段圆弧，在外侧的磁场中运动一段圆弧，其中轨迹如图1．
若内侧与外侧各有两段圆弧，轨迹如图2；

若内侧磁场中运动三段圆弧，在外侧的磁场中运动两段圆弧，等等，依此类推；
带电粒子在磁场中运动的周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$，与粒子运动的速度无关，所以当粒子在内侧磁场中运动两段圆弧，在外侧的磁场中运动一段圆弧时，粒子偏转的角度最小，运动的时间最短，由图1可知，粒子运动的半径：${r}_{1}=\overline{AC}=\overline{CF}=\overline{CD}$，∠AOC=∠COF=∠FOD=30°
所以：$\frac{{r}_{1}}{r}=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\overline{OD}=\overline{OC}=\frac{r}{cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
所以，如果粒子能以最短时间到B，磁场外圆半径至少为：$R=\overline{OD}+{r}_{1}=\sqrt{3}r$
（2）同理可知，若内侧与外侧各有两段圆弧，$\frac{{r}_{2}}{r}=tan\frac{90°}{4}$
若若内侧磁场中运动三段圆弧，在外侧的磁场中运动两段圆弧，则：$\frac{{r}_{3}}{r}=tan\frac{90°}{5}$
若内外侧共有n段圆弧，则：$\frac{{r}_{n}}{r}=tan\frac{90°}{n}$
结合公式$r=\frac{mv}{qB}$得：$\frac{m{v}_{n}}{qB}=r•tan\frac{90°}{n}$，（n=3，4，5…）
所以：${v}_{n}=\frac{qBr}{m}•tan\frac{90°}{n}$，（n=3，4，5…）
答：（1）如果粒子能以最短时间到B，磁场外圆半径至少$\sqrt{3}$r；
（2）满足第一问的条件下，粒子初速满足条件：${v}_{n}=\frac{qBr}{m}•tan\frac{90°}{n}$，（n=3，4，5…）可使粒子到B点．

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．