Question

（B）游乐场的过山车可以底朝天在圆轨道上运行，游客却不会掉下来．我们把这种情况抽象为如图的模型：弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动，小球由静止放开时的位置比轨道最低点高出h．实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点．如果已知圆轨道的半径为R=0.2m，取g=10m/s²，不考虑摩擦等阻力．
（1）h至少要等于多大，小球才能恰好通过最高点？
（2）若小球通过最高点时，对轨道的压力不大于重力，求h的范围？
（3）改变h的数值，用压力传感器测出小球到达轨道最高点时对轨道的压力大小F_N，试通过计算在纸上作出F_N-h图象（已知小球质量0.1kg）

Answer 1

（1）由机械能守恒定律：mg（h-2R）=

1

2

mv2
小球在最高点：mg=m

v2

R

所以：h=2.5R=0.5m     
（2）小球在最高点：mg+F_N=m

v12

R

根据题意F_N≤mg  
所以v12≤2gR
根据机械能守恒定律，有：mg（h′-2R）=

1

2

mv12
解得h′≤3R=0.6m
所以H的范围从0.5-0.6m   
（3）根据机械能守恒定律，有：mg（h-2R）=

1

2

mv2
在最高点，合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：F_N+mg=m

v2

R

两式联立得到：FN=

2mg

R

h-5mg=10h-5，图象如图所示；



答：（1）h至少要等于0.5m，小球才能恰好通过最高点；
（2）若小球通过最高点时，对轨道的压力不大于重力，则h的范围为：0.5m≤h≤0.6m；
（3）如图所示．