Question

（2013·北京丰台二模，24题）（20分）

如图所示，一个光滑、绝缘水平高台的右面空间中存在范围足够大且水平向左的匀强电场，高台边缘静置一个带电量为+q、质量为m的小球B，另有一个绝缘不带电的小球A（大小与小球B相同，质量大于m）以初速度v₀向B运动，A与B发生弹性碰撞后水平进入电场，发生再次碰撞后落到水平地面。已知匀强电场的电场场强为E=，重力加速度为g。（小球A、B碰撞过程中电荷不发生转移）

（1）如果小球A的质量为3 m，求：

①小球A、B发生弹性碰撞（首次碰撞）后各自的速度；

②小球A、B再次碰撞前运动过程中相距的最大距离；

③B小球在电场中与A小球再次碰撞前具有的动能；

（2）如果保持B的质量不变，改变A的质量，其它条件不变，A、B小球再次碰撞前运动过程中相距的最大距离及再次碰撞发生的高度是否发生变化？试证明你的结论。

 

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）①A与B发生弹性碰撞

            ①    ……（1分）

    ②    ……（1分）

联立①②解得

，    ……（2分）

 

②A球不带电，所以出平台后做平抛运动，在竖直方向做自由落体，水平为匀速运动； B球在竖直方向做自由落体运动，在水平方向做类竖直上抛运动（假定向右为上），所以两球在竖直方向运动情况相同，始终保持在同一高度。

    ③    ……（1分）

   ④    ……（1分）

B球在水平方向上的加速度为 ⑤   ……（1分）

所以：在飞行过程中A与B的距离为

   ……（2分）

所以当时，有最大值为    ……（2分）

（另解：当小球B水平分速度减小到时，二者相距最远，有

解得，此时相距）

③再次发生碰撞时有  ⑥    ……（1分）

联立③④⑤⑥解得发生再次碰撞的时间，……（1分）

再次碰撞点离平台的高度 ⑦……（1分）

由动能定理   ⑧ …… （1分）

解得……（1分）

（2）如果保持B的质量不变，改变A的质量，

A与B发生弹性碰撞

      ⑨  

    ⑩

联立⑨⑩解得

（与A、B小球质量无关）  ……（2分）

所以在飞行过程中A与B的距离为  

仍有当时，有最大值为，A、B小球再次碰撞前运动过程中相距的最大距离不发生改变。……（1分）

同理发生再次碰撞的时间始终为，所以再次碰撞点离平台的高度为，不发生改变，即再次碰撞发生一个固定高度。……（1分）