Question

15．如图所示，固定的光滑圆弧轨道ACB的半径为0.8m，A点与圆心O在同一水平线上，圆弧轨道底端B点与圆心在同一竖直线上．C点离B点的竖直高度为0.2m．物块从轨道上的A点由静止释放，滑过B点后进入足够长的水平传送带，传送带由电动机驱动按图示方向运转，不计物块通过轨道与传送带交接处的动能损失，物块与传送带间的动摩擦因数为0.1，g取10m/s²．
（1）求物块从A点下滑到B点时速度的大小；
（2）若物块从A点下滑到传送带上后．又恰能返回到C点，求物块在传送带上第一次往返所用的时间．
（3）设物体质量为1kg，第一次往返过程中摩擦产生的内能是多少？

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒可求得物体到达B点时的速度；
（2）物体以此速度在传送带上减速运动，由牛顿第二定律可求得加速度；则由运动学公式可求得减速到零的时间和位移；物体再反向做加速运动，由机械能守恒可求得返回到B点的速度；根据运动学公式可判断出物体反向加速的运动情况，从而求得传送带的速度；分段求出物体运动的时间，则可求得总时间．
（3）由位移公式求出往返过程中，物体与传送带间的相对位移，即可得到内能．

解答 解：（1）物块从A点下滑到B点的过程，取B所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得
  mgr=$\frac{1}{2}$$m{v}_{B}^{2}$，解得 v_B=$\sqrt{2gr}$=4m/s；
（2）物块先在传送带上向右作匀减速直线运动，加速度大小为 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=1m/s²；
运动时间为 t₁=$\frac{{v}_{B}}{a}$=$\frac{4}{1}$=4s，
通过的位移为 x₁=$\frac{0+{v}_{B}}{2}{t}_{1}$=$\frac{4}{2}×4$m=8m；
物块再在传送带上向左作匀加速直线运动，其末速度设为v₁．
从B到C的过程，由机械能守恒定律得 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得 v₁=$\sqrt{2gh}$=2m/s，
则物体向左匀加速直线运动的时间为 t₂=$\frac{{v}_{1}}{a}$=2s，
通过的位移为 x₂=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$=2m＜x₁
然后再作匀速运动，故传送带的速度应为2m/s；
匀速运动通过的位移为 x₃=x₁-x₂=8-2=6m，匀速运动的时间为 t₃=$\frac{{x}_{3}}{{v}_{1}}$=$\frac{6}{2}$=3s，
所以物块在传送带上第一次往返所用的时间为 t=t₁+t₂+t₃=4+2+3=9s
（3）物块向右运动时与传送带间的相对位移大小为△x₁=x₁+v₁t₁=16m
物块向右运动时与传送带间的相对位移大小为△x₂=v₁t₂-x₂=2m
所以第一次往返过程中摩擦产生的内能是 Q=μmg（△x₁+△x₂）=18J
答：
（1）物块从A点下滑到B点时速度的大小是4m/s；
（2）物块在传送带上第一次往返所用的时间是9s．
（3）设物体质量为1kg，第一次往返过程中摩擦产生的内能是18J．

点评 本题难点在于对过程的分析，要弄清楚物体在传送带上运动的全过程，特别是最后一段的先加速再匀速过程．要注意摩擦生热应根据相对位移求．