Question

一倾角为的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h₀=1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m=0.09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数u=0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g="10" m/s²。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

Answer 1

I=0.4(3+)N·s

解法一：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。由功能关系得
                  ①
以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量
                   ②
设碰撞后小物块所能达到的最大高度为，则
            ③
同理，有
               ④
                                ⑤
式中，为小物块再次到达斜面底端时的速度，为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由①②③④⑤式得
                   ⑥
式中
                    ⑦
由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为
                        ⑧
总冲量为
             ⑨
由
                       ⑩
得
                
代入数据得
I=0.4(3+)N·s                         
解法二：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得
                        ①
设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则
                                    ②
以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为
                            ③
由①②③式得
                      ④
设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为，依牛顿第二定律有
mgsin+umgcos= m                           ⑤
小物块沿斜面向上运动的最大高度为
                     ⑥
由②⑤⑥式得
h′=k²h                                      ⑦
式中
                                    ⑧
同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量
I′=2m                             ⑨
由④⑦⑨式得
I′=kI                                                      ⑩
由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为
I₁=2m                        
总冲量为
I=I₁+ I₂ +I₃+I₄= I₁（1+k+k²+ k³）                    
由
1+k+k²+…+k^n-1=                  
得
                           
代入数据得
I=0.4(3+)N·s