Question

（2007?深圳模拟）如图所示，在处于水平方向的细管内的端点O固定一根长为l、劲度系数为k的轻弹簧，在弹簧的自由端连接一个质量为m的小球，今将细管以O为轴逆时针缓慢转动，直至转到竖直方向，在此过程中，下列说法正确的是（　　）

A．小球的重力势能不断增大

B．小球的质量m足够大时，总能使小球的重力势能先增大后减小

C．弹簧长度足够短时，球的重力势能将不断增大

D．以上说法都不对

Answer 1

分析：将平板以O为转轴在竖直平面内逆时针缓慢转动，直至平板变为竖直状态，小球始终处于平衡状态，抓住小球重力沿斜面方向上的分力与弹簧弹力大小相等，得出形变量的变化，从而得出高度的关系式，通过关系式判断高度的变化，从而判断重力势能的变化．

解答：解：设转过的角度为θ，则mgsinθ=kx，则弹簧的形变量x=

mgsinθ

k

．
球的高度h=（l-x）sinθ=（l-

mgsinθ

k

）sinθ=-

mg

k

(sinθ-

kl

2mg

)²+

kl2

4mg

．因为sinθ＜1．
所以当弹簧的长度l一定，则球的质量m足够大时，

kl

2mg

＜1，则h先增大后减小，所以小球的重力势能先增大后减小．
当球的质量m一定，则弹簧的长度l足够小时，

kl

2mg

＜1，则h先增大后减小，所以小球的重力势能先增大后减小．故B正确，A、C、D错误．
故选B．

点评：本题对数学能力的要求较高，通过二次函数的方法并对sinθ的讨论得出高度的变化，从而判断重力势能的变化．