Question

1．如图所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、+y轴方向为电场强度的正方向）．在t=0时刻由原点O发射初速度大小为v₀，方向沿+y轴方向的带负电粒子（不计重力）．其中已知v₀、t₀、B₀、E₀，且E₀=$\frac{{B}_{0}{v}_{0}}{π}$，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{π}{{B}_{0}{t}_{0}}$，x轴上有一点A，坐标为（$\frac{{48{v_0}{t_0}}}{π}$，0）．

（1）求$\frac{t_0}{2}$时带电粒子的位置坐标．
（2）粒子运动过程中偏离x轴的最大距离．
（3）粒子经多长时间经过A点．

Answer 1

分析 根据洛伦兹力提供向心力和周期公式求粒子的坐标；画出粒子运动轨迹，据此求粒子的最大距离；根据左周期性运动的周期，和一个周期内运动的距离求时间．

解答 解：（1）在0～t₀时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得：
$qBv{\;}_0=m{r_1}\frac{{4{π^2}}}{T^2}=m\frac{v_0^2}{r_1}$
得：$T=\frac{2πm}{{q{B_0}}}=2{t_0}$${r_1}=\frac{{m{v_0}}}{{q{B_0}}}=\frac{{{v_0}{t_0}}}{π}$
则在$\frac{t_0}{2}$时间内转过的圆心角$α=\frac{π}{2}$
所以在$t=\frac{t_0}{2}$时，粒子的位置坐标为：（$\frac{{{v_0}{t_0}}}{π}，\frac{{{v_0}{t_0}}}{π}$）
（2）在t₀～2t₀时间内，粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图所示

$v={v_0}+\frac{{{E_0}q}}{m}{t_0}=2{v_0}$
运动的位移：$x=\frac{{{v_0}+v}}{2}{t_0}=1.5{v_0}{t_0}$
在2t₀～3t₀时间内粒子做匀速圆周运动，半径：${r_2}=2{r_1}=\frac{{2{v_0}{t_0}}}{π}$
故粒子偏离x轴的最大距离：$h=x+{r_2}=1.5{v_0}{t_0}+\frac{{2{v_0}{t_0}}}{π}$
（3）粒子在xOy平面内做周期性运动的运动周期为4t₀
一个周期内向右运动的距离：$d=2{r_1}+2{r_2}=\frac{{6{v_0}{t_0}}}{π}$
AO间的距离为：$\frac{{48{v_0}{t_0}}}{π}=8d$
所以，粒子运动至A点的时间为：t=32t₀
答：（1）在$t=\frac{t_0}{2}$时，粒子的位置坐标（$\frac{{{v_0}{t_0}}}{π}，\frac{{{v_0}{t_0}}}{π}$）；
（2）粒子偏离x轴的最大距离$h=x+{r_2}=1.5{v_0}{t_0}+\frac{{2{v_0}{t_0}}}{π}$；
（3）粒子运动至A点的时间32t₀．

点评 带电粒子在电场、磁场和重力场等共存的复合场中的运动，其受力情况和运动图景都比较复杂，但其本质是力学问题，应按力学的基本思路，运用力学的基本规律研究和解决此类问题．