Question

19．如图所示，在倾角为θ=37°的斜面底端固定有一轻质弹簧，自由放置时其上端位于M点，M点距斜面最高点P的距离L=2m．把质量为m=1kg的小球放于M点，通过外力控制小球将弹簧压缩至N点后自由释放（小球与弹簧不相连，其中MN 的距离d=0.5m），小球通过M点后上升过程中位移随时间变化的关系为x=6t-4t²，之后小球从P点沿切线进入竖直放置的光滑圆弧形圆管轨道运动，圆弧轨道半径R=0.4m，圆管内径可忽略不计（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）． 求：
（1）小球与斜面之间的动摩擦系数μ；
（2）弹簧压缩至N点时具有的弹性势能E_P；
（3）小球运动到圆弧最高点Q时，小球对轨道弹力的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球通过M点后上升过程中位移随时间变化的关系为x=6t-4t²，结合位移公式得到初速度和加速度，然后受力分析后根据牛顿第二定律列式求解动摩擦因素；
（2）对从N到M过程，小球和弹簧系统机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解弹簧压缩至N点时具有的弹性势能E_P；
（3）小球运动到圆弧最高点Q时，弹力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；再对从P到Q过程根据机械能守恒定律列式；最后联立求解．

解答 解：（1）由题意知，小球在M点的速度为：v₀=6m/s；
小球离开弹簧后在斜面上运动的加速度为：a=8m/s²；
对小球离开弹簧后，由牛顿第二定律，有：
ma=mgsinθ+μmgcosθ
解得：μ=0.25
（2）小球从N运动到M过程中，由功能关系，有：
${E}_{p}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgdsinθ+μmgdcosθ$ 
代入数据解得：E_p=22J
（3）小球从M点运动到P点时：L=2=6t-4t²，
解得：t=0.5s，t=1s（舍去），此时速度为：v_p=2m/s
从P到Q机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}+mgR（1-cos37°）$
解得：${v}_{Q}=\sqrt{2.4}m/s$
在Q点，向心力方程：${F}_{N}+mg=m\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$
解得：F_N=-4N
小球受到向上的弹力，根据牛顿第三定律，小球对内轨作用力大小为4N，方向竖直向下；
答：（1）小球与斜面之间的动摩擦系数μ为0.25；
（2）弹簧压缩至N点时具有的弹性势能为22J；
（3）小球运动到圆弧最高点Q时，小球对轨道弹力的大小为4N，方向为竖直向下．

点评 本题关键是明确小球的受力情况、运动情况和能量转化情况，结合牛顿第二定律、机械能守恒定律和向心力公式列式求解，不难．