Question

11．如图所示．直线MN上方垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，质量为m、带电量为-q（q＞0）的粒子1在纸面内以速度V₁=V₀从O点射入磁场，其射入方向与MN的夹角α=30⁰；质量为m、带电量为+q（q＞0）的粒子2在纸面内以速度V₂=$\sqrt{3}$V₀也从O点射入磁场，其射入方向与MN的夹角β=60°．已知粒子1和2同时分别到达磁场边界的A、B两点（图中未画出），不计粒子的重力及它们间的相互作用．
（1）求两个粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离．
（2）求两个粒子进入磁场的时间间隔△t．
（3）若MN下方有平行于纸面的匀强电场，且两粒子在电场中相遇，其中粒子1做直线运动．求该电场的电场强度．

Answer 1

分析 （1）两个粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，列式可求得轨迹半径．由几何关系求出轨迹对应的圆心角，再运用几何知识求解A、B之间的距离．
（2）粒子圆周运动的周期 T=$\frac{2πr}{v}$，根据轨迹对应的圆心角求出各自运动的时间，即可得到时间间隔△t．
（3）电场强度的方向应与粒子1穿出磁场的方向平行．可能有两种：
a、若场强的方向与MN成30°角向上偏右，则粒子1做匀加速直线运动，粒子2做类平抛运动；
b、若场强的方向与MN成30°角向下偏左，则粒子1做匀减速直线运动，粒子2做类平抛运动．由牛顿第二定律和运动学公式结合求解．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿运动定律得 Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得 r₁=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$和r₂=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$
由几何关系可知：
粒子1圆周运动的圆弧所对的圆心角为 θ₁=$\frac{5}{3}$π
所以射入点O与离开磁场的位置A间的距离 OA=2r₁sin$\frac{2π-{θ}_{1}}{2}$
粒子2圆周运动的圆弧所对的圆心角为 θ₁=$\frac{4}{3}$π
所以射入点O与离开磁场的位置B间的距离 OB=2r₂sin$\frac{2π-{θ}_{2}}{2}$
故穿出点A、B之间的距离 d=OA+OB=$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$
（2）粒子圆周运动的周期 T=$\frac{2πr}{v}$
粒子1在磁场中运动的时间 t₁=$\frac{{θ}_{1}}{2π}$T
粒子2在磁场中运动的时间 t₂=$\frac{{θ}_{2}}{2π}$T
进入磁场的时间间隔△t=t₁-t₂=$\frac{πm}{3qB}$
（3）由题意电场强度的方向应与粒子1穿出磁场的方向平行．
a、若场强的方向与MN成30°角向上偏右，则粒子1做匀加速直线运动，粒子2做类平抛运动
对粒子1、2  由运动定律得 Eq=ma
在粒子1的运动所在直线上，
对粒子1和2由位移公式得 ABcos30°=v₁t+$\frac{1}{2}$at²+$\frac{1}{2}$at²
在与粒子1的运动垂直的方向上，
对粒子2由位移公式得 ABsin30°=v₂t
解得 E=$\sqrt{3}$B v₀
b、若场强的方向与MN成30°角向下偏左，则粒子1做匀减速直线运动，粒子2做类平抛运动
对粒子1、2  由运动定律得 Eq=ma
在粒子1的运动所在直线上，
对粒子1和2由位移公式得 AB cos30°=v₁t-$\frac{1}{2}$at²-$\frac{1}{2}$at²
在与粒子1的运动垂直的方向上，
对粒子2由位移公式得 AB sin30°=v₂t
解得 E=-$\sqrt{3}$Bv₀    
假设不成立．
综上所述：场强的大小为$\sqrt{3}$B v₀，方向为与MN成30°角向上偏右．
答：
（1）两个粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离为$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$．
（2）两个粒子进入磁场的时间间隔△t为$\frac{πm}{3qB}$．
（3）场强的大小为$\sqrt{3}$B v₀，方向为与MN成30°角向上偏右．

点评 该题中带电粒子在磁场中运动的半径与周期的公式的推导与应用，要熟练掌握，由轨迹的圆心角求时间是常用方法，基本公式是t=$\frac{θ}{2π}$T，θ是轨迹对应的圆心角．