Question

16．质量均为m的两个小球A、B固定在轻质等腰直角形框架的两个顶点上，框架可绕过O点的光滑转轴在竖直平面内自由转动，两直角边长为L．开始时，OB边水平，OA边竖直，现由静止释放，重力加速度为g，忽略空气阻力．下列说法中正确的是（　　）

• A． 框架转动过程中地球、球A、球B框架构成的系统机械能守恒
• B． 释放后，当OB杆转到与水平发那个向成45°时，两球速度达到最大
• C． 框架转动过程中B球不能到达A球初始位置
• D． 框架转动过程中两球达到的最大速度为$\sqrt{（\sqrt{2}-1）gl}$

Answer 1

分析 AB两个球组成的系统机械能守恒，但对于单个的球来说机械能是不守恒的，根据系统的机械能守恒列式可以分析A球速度最大时，两小球的总重力势能应最小．

解答 解：A、球A和B组成的系统，在转动过程中，只有重力做功机械能守恒，地球、球A、球B框架构成的系统机械能守恒，故A正确；
B、D、释放后，A球的速度最大，B球的速度也最大，则两球的总动能最大，根据系统的机械能守恒得知，两小球的总重力势能最小．以O点的位置为0势能点，则开始时系统的势能：
E₁=-mgL   ①
设AO与水平方向之间的夹角是α时，两个小球的速度最大，则此时BO与水平方向之间的夹角是（90°-α），它们的势能的和：
E₂=-mgLsinα-mgLsin（90°-α）=-mgL（sinα+cosα）=$-\sqrt{2}mgLsin（α+\frac{π}{4}）$   ②
所以当$α=\frac{π}{4}=45°$时，E₂最小，则两个小球的速度最大．故B正确；
C、由于地球、球A、球B框架构成的系统机械能守恒，而且A与B的质量是相等的，所以框架转动过程中B球能到达A球初始位置，故C错误．
D、根据B的分析可知，45°时，两球速度达到最大．根据机械能守恒快的：
${E}_{1}-{E}_{2}=\frac{1}{2}•2m{v}_{m}^{2}$   ③
联立①②③得：v_m=$\sqrt{（\sqrt{2}-1）gl}$．故D正确．
故选：ABD

点评 本题关键是注意两个球整体机械能守恒，单个小球机械能不守恒，当A球的速度最大，B球的速度也最大．