Question

10．在真空中，有两个相距2b的非常重的点电荷每一个带电量都等于+e．在电荷连线的中间，并垂直于电荷连线的平面内，有两个质点沿着圆轨道运动，质点的质量和电荷都为m和-e，圆轨道的半径为a，其圆心正好在两个正电荷的连线上，质点运动时，他们总是处在圆轨道直径的两个相反的端点上． 
（1）a和b必须满足什么条件，才能使系统在角速度为0时处于平衡位置．  
（ 2）负电荷应以多大的角速度w运动，才能使系统处于动态平衡？

Answer 1

分析 （1）系统在角速度为0时处于平衡位置，A电荷受到另外三个电荷的静电力作用，合力为零，根据平衡条件和库仑定律结合求解．
（2）负电荷做匀速圆周运动时，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求解．

解答 解：（1）如图A点电荷在另外三个电荷的作用下而静止，由平衡条件有：
  2Fcosα=F_BA；
由库仑定律有：
  F=k$\frac{{e}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$，F_BA=k$\frac{{e}^{2}}{（2a）^{2}}$
又由几何关系可知：cosα=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
联立解得：8a₃=$（{a}^{2}+{b}^{2}）^{\frac{3}{2}}$
同理，对点电荷C，有：
  2Fcosα=F_CD；
又 F_CD=k$\frac{{e}^{2}}{（2b）^{2}}$
解得：8b³=$（{a}^{2}+{b}^{2}）^{\frac{3}{2}}$
由上可得 a=b．
（2）由圆周运动的规律有：
  2Fcosα-F_BA=mω²a
代入得：$\frac{2k{e}^{2}a}{（{a}^{2}+{b}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$-$\frac{k{e}^{2}}{4{a}^{2}}$=mω²a
解得：ω=$\sqrt{\frac{2k{e}^{2}}{m（{a}^{2}+{b}^{2}）^{\frac{3}{2}}}-\frac{k{e}^{2}}{4m{a}^{3}}}$
答：（1）a和b必须满足条件：a=b时，才能使系统在角速度为0时处于平衡位置．  
（2）负电荷应以$\sqrt{\frac{2k{e}^{2}}{m（{a}^{2}+{b}^{2}）^{\frac{3}{2}}}-\frac{k{e}^{2}}{4m{a}^{3}}}$的角速度w运动，才能使系统处于动态平衡．

点评 解决本题的关键要正确分析受力情况，运用力学的方法研究，同时要掌握平衡条件和圆周运动的规律．