Question

11．沿半球形碗的光滑内表面，一个质量为m的小球正以角速度ω在水平面内做匀速圆周运动，如果碗的半径为R，则该小球做匀速圆周运动的轨道平面离碗底的高度为R-$\frac{g}{{ω}^{2}}$．

Answer 1

分析 小球在水平面内做匀速圆周运动，靠重力和支持力的合力通过向心力，根据牛顿第二定律，结合几何关系求出球做匀速圆周运动的水平面离碗底的距离．

解答 解：因为小球做的是匀速圆周运动，所以小球的向心力就是小球所受的合力，小球受重力、碗的支持力（指向球心），如下图．为保证这两个力的合力指向圆周运动的圆心（不是球心），则将支持力分解后必有竖直方向分力等于重力，水平方向分力即为向心力．设支持力与水平方向夹角为θ，
则有：F_向=$\frac{mg}{tanθ}$=mω²Rcosθ
解得：sinθ=$\frac{g}{R{ω}^{2}}$．
则小球的高度为：H=R-Rsinθ=R-$\frac{g}{{ω}^{2}}$．
故答案为：R-$\frac{g}{{ω}^{2}}$．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律和几何关系进行求解．