Question

15．如图甲所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN，导轨的电阳均不计．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=4Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B_o=1T．将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好．现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度，已知在此过程中通过金属棒截面的电量q=0.2C，且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．取g=10m/s²．求：

（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数μ；
（2）cd离NQ的距离s；
（3）金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量；
（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）．

Answer 1

分析 （1）当刚释放时，导体棒中没有感应电流，所以只受重力、支持力与静摩擦力，由牛顿第二定律可求出动摩擦因数．
（2）当金属棒速度稳定时，则受到重力、支持力、安培力与滑动摩擦力达到平衡，这样可以列出安培力公式，产生感应电动势的公式，再由闭合电路殴姆定律，列出平衡方程可求出金属棒的内阻，从而利用通过棒的电量来确定发生的距离．
（3）金属棒滑行至cd处的过程中，由动能定理可求出安培力做的功，而由于安培力做功导致电能转化为热能．
（4）要使金属棒中不产生感应电流，则穿过线框的磁通量不变．同时棒受到重力、支持力与滑动摩擦力做匀加速直线运动．从而可求出磁感应强度B应怎样随时间t变化的．

解答 解：（1）当v=0时，a=2m/s²
由牛顿第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ=ma
μ=0.5       
（2）由图象可知：v_m=2m/s  
当金属棒达到稳定速度时，有F_A=B₀IL；
且B₀IL+μmgcosθ=mgsinθ
解得I=0.2A；
切割产生的感应电动势：E=B₀Lv=1×0.5×2=1V；
因$I=\frac{E}{R+r}$，
解得r=1Ω
电量为：$q=\overline{I}t=\frac{△∅}{△t（R+r）}△t=\frac{BLs}{（R+r）}$
解得：s=2m
（3）对棒由动能定理得：$mgh-μmgscos37°-{W}_{F}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
产生热量：Q_总=W_F=0.1J
由串并联电路特点：${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}{Q}_{总}=\frac{4}{5}×0.1=0.08J$
（4）当金属棒中不产生感应电流，此时回路中的总磁通量不变时，
金属棒将沿导轨做匀加速运动．              
由牛顿第二定律：mgsinθ-μmgcosθ=ma
a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s²=2m/s²
${B}_{0}Ls=BL（s+vt+\frac{1}{2}a{t}^{2}）$
则磁感应强度与时间变化关系：$B=\frac{{B}_{0}s}{s+vt+\frac{1}{2}a{t}^{2}}=\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$．
答：（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数为0.5； 
（2）cd离NQ的距离2m；
（3）金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量0.08J；
（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化为$B=\frac{2}{2+2t{+t}^{2}}$

点评 本题考查了牛顿运动定律、闭合电路殴姆定律，安培力公式、感应电动势公式，还有动能定理．同时当金属棒速度达到稳定时，则一定是处于平衡状态，原因是安培力受到速度约束的．还巧妙用磁通量的变化去求出面积从而算出棒的距离．最后线框的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流是解题的突破点．