Question

8．如图所示，在第Ⅲ象限存在着沿y轴正方向的匀强电场，在第Ⅰ、Ⅳ象限存在着半径为a的圆形磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，该区域的一条直径与x轴共线，一带正电的粒子初速度为v₀，质量为m，电荷量为q，从A点（-l，-$\frac{\sqrt{3}}{6}l$）垂直于电场线方向进入匀强电场，结果从坐标原点O进入圆形磁场区域，已知圆形磁场区域的磁感应强度为$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3aq}$，并且粒子第一次到达磁场区域的边界时恰因某种原因被反向弹回（能量孙素忽略不计），最终粒子第二次到达磁场的边界时从磁场中穿出，粒子重力不计，求：
（1）电场强度的大小；
（2）粒子进入磁场时的速度大小和方向；
（3）粒子从进入电场到穿出磁场所用的时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出电场强度．
（2）带电粒子垂直于电场方向做匀加速运动，由运动学公式求出粒子到达O点时沿y轴方向的分速度，再进行合成求解．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出轨道半径，画出轨迹，由几何知识求出轨迹对应的圆心角，即可求得磁场运动时间．

解答 解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，则有：
 l=v₀t，$\frac{\sqrt{3}}{6}$l=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由牛顿第二定律得 a=$\frac{qE}{m}$
联立解得：E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{ql}$
（2）设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度大小为v_y，速度与x轴正方向的夹角为α．
在电场中，沿y轴方向，有：$\frac{\sqrt{3}}{6}$l=$\frac{{v}_{y}}{2}t$
沿x轴方向，有：l=v₀t
可得 v_y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
粒子进入磁场时的速度大小 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
则tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=30°
（3）在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得粒子在磁场中的轨迹半径 r=$\frac{mv}{qB}$
将B=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3aq}$代入得：r=a
画出粒子的运动轨迹，如图所示，可得轨迹对应的圆心角为 θ=60°
则粒子在磁场中运动时间为 t′=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{60°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$
将B=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3aq}$代入得：t′=$\frac{\sqrt{3}πa}{6{v}_{0}}$
故粒子从进入电场到穿出磁场所用的时间 t_总=t+t′=$\frac{l}{{v}_{0}}$+$\frac{\sqrt{3}πa}{6{v}_{0}}$
答：
（1）电场强度的大小为$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{ql}$；
（2）粒子进入磁场时的速度大小为$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，方向与x轴正方向成30°；
（3）粒子从进入电场到穿出磁场所用的时间为$\frac{l}{{v}_{0}}$+$\frac{\sqrt{3}πa}{6{v}_{0}}$．

点评 带电粒子在匀强电场中运动时，要注意应用运动的合成和分解进行研究．粒子在磁场中运动时为匀速圆周运动，关键要画出轨迹，由几何知识求解轨迹的圆心角．