Question

4．如图所示，水平面上有一个高为d的木块，木块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.1．由均匀金属材料制成的边长为2d、有一定电阻的正方形单匝线框，竖直固定在木块上表面，它们的总质量为m．在木块右侧有两处相邻的边长均为2d的正方形区域，正方形底边离水平面高度为2d．两区域各有一水平方向的匀强磁场穿过，其中一个方向垂直于纸面向里，另一个方向垂直于纸面向外，区域Ⅱ中的磁感应强度为区域Ⅰ中的3倍．木块在水平外力作用下匀速通过这两个磁场区域．已知当线框右边MN刚进入Ⅰ区时，外力大小恰好为F₀=$\frac{3}{20}$mg，此时M点电势高于N点，试求：
（1）区域Ⅰ中磁感应强度的方向如何？
（2）线框右边MN刚进入Ⅰ区时所受安培力大小；
（3）MN刚到达Ⅱ区正中间时，摩擦力的大小；
（4）MN在Ⅱ区运动过程中拉力做的功W？

Answer 1

分析 （1）已知当线框右边MN刚进入Ⅰ区时，M点电势高于N点，说明MN中感应电流方向由N到M，由右手定则判断磁感应强度的方向．
（2）木块和线圈整体水平方向受重力、滑动摩擦力和拉力，根据平衡条件列式求解安培力．
（3）MN刚到达Ⅱ区正中间时，线框左右两边切割磁感线，产生感应电动势，求出总的感应电动势，得到感应电流．由于线框上边各有一半处在磁场Ⅰ区、Ⅱ区中，所以分别受到向上与向下的安培力作用，根据竖直方向力平衡求出地面的支持力，由水平方向力平衡求出拉力F．
（4）随着MN在磁场Ⅱ区的运动，木块受到的支持力N_x随发生的位移x而变化，由平衡条件得到支持力与x的关系，求出支持力的平均值，即可求得摩擦力的平均值，再由功的公式计算拉力做的功W．

解答 解：（1）由题，当线框右边MN刚进入Ⅰ区时，M点电势高于N点，说明MN中感应电流方向由N到M，由右手定则判断知，磁感应强度的方向向外；
（2）线框右边MN刚进入Ⅰ区时，受重力、支持力、拉力、滑动摩擦力和安培力，根据平衡条件，有：
F₀-F_安-μmg=0
解得：F_安=0.05mg
（3）MN刚到达Ⅱ区正中间时，流过线框的电流为：
$I'=\frac{3Bdv+Bdv}{R}=\frac{4Bdv}{R}=4I$
由于线框上边各有一半处在磁场Ⅰ区、Ⅱ区中，所以分别受到向上与向下的安培力作用，此时木块受到的支持力N为：
$N=mg+3BI'd-BI'd=mg+8{F_A}=\frac{7}{5}mg$
故有：f=μN=0.14mg
（4）随着MN在磁场Ⅱ区的运动，木块受到的支持力N_x随发生的位移x而变化，有：
N_x=mg+3BI'x-BI'（2d-x）=mg-2BI'd+4BI'x
由于N_x随位移x线性变化，因此MN在Ⅱ区运动过程中木块受到的平均支持力为：
$\overline N=mg-2BI'd+\frac{4BI'•2d}{2}=mg+2BI'd=\frac{7}{5}mg$
故有：${F_A}'=BI'd+3BI'd=16{F_A}=\frac{4}{5}mg$
此过程中拉力做的功W为：
$W={F_A}'•2d+μ\overline N•2d=\frac{4}{5}mg•2d+\frac{7}{50}mg•2d=\frac{47}{25}mgd$
答：（1）区域Ⅰ中磁感应强度的方向向外；
（2）线框右边MN刚进入Ⅰ区时所受安培力大小为0.05mg；
（3）MN刚到达Ⅱ区正中间时，摩擦力的大小为0.14mg；
（4）MN在Ⅱ区运动过程中拉力做的功W为$\frac{47}{25}mgd$．

点评 本题是电磁感应与电路、力学的综合，关键掌握楞次定律、法拉第电磁感应、欧姆定律等电磁感应的基本规律，要注意线框通过两磁场交界处时左右两边都切割磁感线，产生的感应电动势是串联关系．