Question

13．圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星，它到地球表面的距离等于地球半径R，地球表面上的重力加速度为g，则
（1）这颗人造卫星的周期为多少？
（2）此时人造卫星的线速度有多大？
（3）此时人造卫星的动能有多大？

Answer 1

分析 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，地球对人造卫星的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可列式求出线速度、角速度、周期和向心力的表达式．再根据万有引力近似等于重力得出黄金代换公式即可．

解答 解：（1）人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设地球质量为M、卫星的轨道半径为r，则有：
 $\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
r=2R
忽略地球自转的影响有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
（2）v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，
（3）卫星的动能为：E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{4}$mgR，
答：（1）这颗人造卫星的周期为4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
（2）此时人造卫星的线速度有$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，
（3）此时人造卫星的动能有$\frac{1}{4}$mgR．

点评 本题关键根据人造卫星的万有引力充当向心力，以及地球表面物体的重力等于万有引力列两个方程求解．