Question

16．如图（甲）是游乐场中双环过山车的实物图片，图（乙）是过山车的原理图．在原理图中半径分别为R₁=2.0m和R₂=8.0m的两个光滑圆形轨道被固定在倾角为α=37°斜直轨道面上的Q、Z两点处（Q、Z是圆轨道的接口，也是轨道间的切点），圆形轨道与斜直轨道之间圆滑连接，且在同一竖直面内．PQ之距L₁=6m，QZ之距L₂=18m，两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐．现使一辆较小的过山车（视作质点）从P点以一定初速度沿斜面向下运动．已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=$\frac{1}{24}$，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．

（1）若车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为多大？
（2）若车在P处的初速度变为10m/s，则小车经过第二个轨道的最低点D处时对轨道的压力是重力的几倍？计算说明车有无可能出现脱轨现象？

Answer 1

分析 （1）小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经过A点的速度．由几何知识求出P、Q间的距离S_PQ，运用动能定理研究小球从P到A的过程，求解P点的初速度．
（2）先由动能定理求出小车通过D点时的速度，再由牛顿运动定律求对轨道的压力．
根据小车在P点的初速度10m/s，与第一问中v₀比较，分析小车能否安全通过圆弧轨道O₁．若小车恰能通过B点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律列方程，求出小车通过B点的临界速度，根据动能定理求出小车在P点的临界速度，再确定小车能否安全通过两个圆形轨道．

解答 解：（1）小车恰好过A点，由牛顿第二定律有 mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{{R}_{1}}$  ①
小球P到A的过程中，由动能定理有
  $\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀²=-μmgcos37°L₁  
联立解得 v₀=2$\sqrt{6}$ m/s
（2）小球P到D的过程中，由动能定理得
  $\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₀²=2mgR₂-μmgcos37°（L₁+L₂）  ③
在D点，有 F-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{{R}_{2}}$  ④
解得 F=6.05mg
若车在P处的初速度变为10m/s，因10m/s＞2√6 m/s，故车不会在第一个圆轨道脱轨．
判车能否到达最高点B处：假定车恰能到达B处，所需的初速度为v₀′，有：
 mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{2}}$ ⑥；
又有 $\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀^/2=-μmgcos37°（L₁+L₂）⑦
得 v₀′=4$\sqrt{6}$ m/s，v₀＞v₀′，综合分析，车不会脱轨．
答：
（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为2$\sqrt{6}$m/s；
（2）若小车在P点的初速度为10m/s，车不会脱轨．

点评 对于物体在竖直平面内光滑圆轨道最高点的临界速度v=$\sqrt{gr}$，要在理解的基础上加强记忆，圆周运动往往与动能定理、机械能守恒等进行综合．本题难点在于运用几何知识求距离．