Question

有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞．以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动．现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置．每隔一相等的确定的时间间隔T拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计．从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置．求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H表示）的可能值以及与各H值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值．

Answer 1

分析：画出高度随时间变化的图象，然后结合图象进行分析讨论，要分情况讨论并考虑重复性．

解答：解：小球沿竖直线上下运动时，其离开玻璃管底部的距离h随时间t变化的关系如图所示．设照片拍摄到的小球位置用A表示，A离玻璃管底部的距离为h_A，小球开始下落处到玻璃管底部的距离为H．小球可以在下落的过程中经过A点，也可在上升的过程中经过A点．现以τ表示小球从最高点（即开始下落处）落到玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的时间），τ₁表示小球从最高点下落至A点所需的时间（也就是从A点上升至最高点所需的时间），τ₂表示小球从A点下落至玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升至A点所需的时间）．显然，τ₁+τ₂=τ．根据题意，在时间间隔T 的起始时刻和终了时刻小球都在A点．用n表示时间间隔 T 内（包括起始时刻和终了时刻）小球位于A点的次数（n≥2）．下面分两种情况进行讨论：

1．A点不正好在最高点或最低点．
当n为奇数时有
T=（n-1）τ₁+（n-1）τ₂=（n-1）τ     n=3，5，7，…（1）
在（1）式中，根据题意τ₁可取0＜τ₁＜τ中的任意值，而
τ₂=τ-τ₁ （2）
当n为偶数时有
T=nτ₂+（n-2）τ₁=nτ₁+（n-2）τ₂    n=2，4，6，…（3）
由（3）式得τ₁=τ₂ （4）
由（1）、（3）、（4）式知，不论n是奇数还是偶数，都有
T=（n-1）τ   n=2，3，4，…（5）
因此可求得，开始下落处到玻璃管底部的距离的可能值为
Hn=

1

2

gτ²=

1

2

g(

T

n-1

)2     n=2，3，4，…（6）
若用H_n表示与n对应的H值，则与H_n相应的A点到玻璃管底部的距离
hA=Hn-

1

2

gτ²  n=2，3，4，…（7）
当n为奇数时，τ₁可取0＜τ₁＜τ中的任意值，故有
0＜h_A＜H_n[Hn=

1

2

g(

T

n-1

)2]n=3，5，7，???（8）
可见与H_n相应的h_A的可能值为0与H_n之间的任意值．
当n为偶数时，τ₁=

1

2

τ，由（6）式、（7）式求得H_n的可能值
hA=

3

4

Hn[Hn=

1

2

g(

T

n-1

)2]n=2，4，6，????（9）
2．若A点正好在最高点或最低点．
无论n是奇数还是偶数都有
T=2（n-1）τ      n=2，3，4，???（10）
Hn=

1

2

gτ²=

1

2

g[

T

2(n-1)

]2     n=2，3，4，???（11）
h_A=H_n     {Hn=

1

2

g[

T

2(n-1)

]2} n=2，3，4，???（12）
或 h_A=0 （13）

点评：本题是第23届全国中学生物理竞赛复赛试题，难度大，关键是画出高度随时间变化的图象，然后运用数学知识进行分析讨论．