Question

19．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．（取地球表面重力加速度g=10m/s²，空气阻力不计）．
（1）求该星球表面附近的重力加速度g′；
（2）设星球半径为R，宇航员乘坐的宇宙飞船在离星球高H处圆周运动的线速度；
（3）已知该星球的半径与地球半径之比为R_星：R_地=1：4，求该星球的质量与地球质量之比M_星：M_地．

Answer 1

分析 （1）竖直上抛运动返回地面时的速度和抛出时的速度大小相等，方向相反，根据匀变速直线运动的规律得出加速度之比，从而得出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于向心力，求解宇宙飞船的线速度．
（3）根据万有引力等于重力求出星球的质量M_星与地球质量M_地之比

解答 解：（1）设竖直上抛小球初速度为v，星球表面重力加速度为g′，根据题意知：
在地球表面，有：t=$\frac{2v}{g}$
在星球表面，有：5t=$\frac{2v}{g′}$
联解各式得：g′=2m/s²
（2）根据万有引力等于向心力，得
  G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+H}$
在星球表面，有 mg′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
联立解得 v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{5（R+H）}}$
（3）小球在地球或星球表面附近受到的万有引力等于小球重力，得：
星球表面附近：G$\frac{{M}_{星}m}{{R}_{星}^{2}}$=mg′
地球表面附近：G$\frac{{M}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}$=mg
由题得：R_星：R_地=1：4
解得  M_星：M_地=1：80
答：
（1）该星球表面附近的重力加速度g′=2m/s²
（2）宇宙飞船在离星球高H处圆周运动的线速度为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{5（R+H）}}$．
（3）星球的质量M_星与地球质量M_地之比1：80．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力G $\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，会根据重力加速度之比求出天体的质量之比．