Question

【题目】（1）牛顿发现万有引力定律之后，在卡文迪许生活的年代，地球的半径经过测量和计算已经知道约6400千米，因此卡文迪许测出引力常量G后，很快通过计算得出了地球的质量。1798年，他首次测出了地球的质量数值，卡文迪许因此被人们誉为“第一个称地球的人”。若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球的自转。

a．求地球的质量；

b．若一卫星在距地球表面高为h的轨道上绕地球作匀速圆周运动，求该卫星绕地球做圆周运动的周期；

（2）牛顿时代已知如下数据：月球绕地球运行的周期T、地球半径R、月球与地球间的距离60R、地球表面的重力加速度g。牛顿在研究引力的过程中，为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，同样遵从与距离的平方成反比规律的猜想，他做了著名的“月地检验”：月球绕地球近似做匀速圆周运动。牛顿首先从运动学的角度计算出了月球做匀速圆周运动的向心加速度；接着他设想，把一个物体放到月球轨道上，让它绕地球运行，假定物体在地面受到的重力和在月球轨道上运行时受到的引力，都是来自地球的引力，都遵循与距离的平方成反比的规律，他又从动力学的角度计算出了物体在月球轨道上的向心加速度。上述两个加速度的计算结果是一致的，从而证明了物体在地面上所受的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循同样规律的设想。根据上述材料：

a．请你分别从运动学的角度和动力学的角度推导出上述两个加速度的表达式；

b．已知月球绕地球做圆周运动的周期约为T=2.4×106s，地球半径约为R=6.4×106m，取π2=g．结合题中的已知条件，求上述两个加速度的比值，并得出合理的结论。

Answer 1

【答案】（1）a．；b．；（2）a．；b．； 由以上结果可以看出，在误差范围内可认为a1=a2，这说明物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循与距离的平方成反比的规律．

【解析】解：（1）a．设地球质量为M，地球表面上的某物体质量为m：

解得：

b．万有引力提供卫星做圆周运动的向心力：

解得：

（2）a．月球绕地球做匀速圆周运动，由运动学公式：

解得：

质量为m的物体在地面上受到的重力：

质量为m的物体在月球轨道上受到的引力：

解得：

b．由以上结果得：

代入已知数值得：=0.96

由以上结果可以看出，在误差范围内可认为a1=a2，这说明物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循与距离的平方成反比的规律。