Question

17．如图所示，质量为m₁=20kg的物体A经一轻质弹簧与下方斜面上的质量为m₂=20kg的物体B相连，弹簧的劲度系数为 k=50N/m，斜面是光滑的，其倾角为θ=30°．A、B都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体 A，另一端连质量为m₃=34.7kg的物体C．物体C又套在光滑竖直固定 的细杆上，开始时各段绳都处于伸直状态，但没绷紧，OC段绳是水平的，OC段的距离d=6m，A上方的一段绳沿斜面方向．现在静止释放物体C，已知它恰好能使B离开挡板但不继续上升．（结果保留一位有效数字）
（1）当B刚离开挡板时，物体A沿着斜面上滑的距离L；
（2）当B刚离开挡板时，A的速度 v₁大小是多少？

Answer 1

分析 （1）先求出开始时弹簧的压缩量，再求出当B刚离开挡板时弹簧的伸长量，从而得到物体A上升的距离L．
（2）对A、B、C弹簧和地球组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，由机械能守恒定律列式即可求解．

解答 解：（1）开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x₁，有：kx₁=m₁gsinθ，
设B刚要离开挡板时弹簧的伸长量为x₂，则有：kx₂=m₂gsinθ，
由几何关系有：L=x₁+x₂；
解得A上升的距离为：L=$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）gsinθ}{k}$=$\frac{40×10×sin30°}{50}$m=4m；
（2）从释放物体C到B刚离开挡板时C下降的高度为：
    h=$\sqrt{（d+L）^{2}-{d}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8m
由几何关系可得，B刚离开挡板时绳OC与竖直方向的夹角为37°．设A的速度大小为v₁时B的速度大小为v₂．有：
v₁=v₂cos37°
对A、B、C弹簧和地球组成的系统，由于弹簧的初末位置弹性势能相等，由系统的机械能守恒得：
   m₃gh=m₁gLsinθ+$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
联立解得：v₁≈8m/s
答：（1）当B刚离开挡板时，物体A沿着斜面上滑的距离L是4m；
（2）当B刚离开挡板时，A的速度 v₁大小是8m/s．

点评 解决本题的关键要明确研究过程和状态，选择好研究对象，并正确分析受力情况和能量的转化情况．