Question

4．物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能．若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m₀的质点距质量为M₀的引力中心为r₀时，其万有引力势能可表示为：E_p=-G$\frac{{M}_{0}{m}_{0}}{{r}_{0}}$（式中G为引力常数）．一颗质量为m的人造地球卫星以半径为r₁圆形轨道环绕地球飞行，已知地球的质量为M，要使此卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径增大为r₂，则在此过程中（　　）

• A． 卫星势能增加了GMm（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）
• B． 卫星动能减少了G$\frac{Mm}{3}$（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）
• C． 卫星机械能增加了G$\frac{Mm}{2}$（$\frac{1}{{r}_{1}}$+$\frac{1}{{r}_{2}}$）
• D． 卫星上的发动机所消耗的最小能量为G$\frac{2Mm}{3}$（$\frac{1}{{r}_{2}}$-$\frac{1}{{r}_{1}}$）

Answer 1

分析 求出卫星在半径为r₁圆形轨道和半径为r₂的圆形轨道上的动能，从而得知动能的减小量，通过引力势能公式求出势能的增加量，根据能量守恒求出发动机所消耗的最小能量．

解答 解：A、引力势能的增加量$△{E}_{P}=-\frac{GMm}{{r}_{2}}$=GMm（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$），故A正确．
B、根据万有引力提供向心力由：$G\frac{Mm}{{{r}_{1}}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$，解得${E}_{K1}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{GMm}{2{r}_{1}}$．
同理，E_k2=$\frac{GMm}{2{r}_{2}}$．
所以，动能的减小量为$△{E}_{K}=\frac{GMm}{{2r}_{1}}-\frac{GMm}{2{r}_{2}}$=G$\frac{Mm}{2}$（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）．故B错误．
CD、根据能量守恒定律，卫星机械能增加了等于发动机消耗的最小能量为E=△E_p-△E_k=$\frac{GMm}{2}$（$\frac{1}{{r}_{2}}$-$\frac{1}{{r}_{1}}$）．故CD错误．
故选：A

点评 解决本题的关键得出卫星动能和势能的变化量，从而根据能量守恒进行求解．