Question

2．一小船渡河，河宽d=180m，水流速度v₁=2.5m/s．若船在静水中的速度为v₂=5m/s，求：
①小船渡河的最短时间是多少？此过程中位移是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？

Answer 1

分析 当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短；当合速度与河岸垂直时，渡河航程最短，结合运动学公式与平行四边形定则，即可求解．

解答 解：将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响    渡河的时间，而平行分速度只影响船在平行河岸方向的位移．
（1）若v₂=5 m/s．
     
①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v₂=5 m/s．
t=$\frac{d}{{v}_{⊥}}$=$\frac{d}{{v}_{2}}$=$\frac{180}{5}$ s=36 s，
v_合=$\sqrt{{5}^{2}+2．{5}^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$ m/s，
x=v_合t=90$\sqrt{5}$ m．
②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向．船头应朝图中的v₂方向．
     
由v₂sin α=v₁得α=30°．
所以当船头与上游河岸成60°时航程最短．
t=$\frac{d}{{v}_{⊥}}$=$\frac{d}{{v}_{2}cos30°}$=$\frac{180}{\frac{5}{2}\sqrt{3}}$ s=24 $\sqrt{3}$ s．
答：①小船渡河的最短时间是36 s，此过程中位移是90$\sqrt{5}$ m；
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝与上游河岸成60°方向，用24 $\sqrt{3}$ s时间．

点评 解决本题的关键知道合运动与分运动具有等时性，当静水速与河岸垂直，渡河时间最短；当合速度与河岸垂直，渡河航程最短，注意时间最短与位移最短渡河的不同．