Question

（2007?湖南模拟）如图所示，一块质量为M、长为l的匀质板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮，某人以恒定的速度υ向下拉绳，物块最多只能到达板的中点，而且此时板的右端尚未到达桌边定滑轮．求：
（1）物块与板的动摩擦因数及物块刚到达板的中点时板的位移；
（2）若板与桌面间有摩擦，为使物块能达到板的右端，板与桌面的动摩擦因数的范围；
（3）若板与桌面间的动摩擦因数取（2）问中的最小值，在物块从板的左端运动到右端的过程中，人拉绳的力所做的功（其他阻力均不计）

Answer 1

分析：（1）板与物块都向右做初速度为零的匀加速运动，当两者速度相等时，木块与板相对静止，由牛顿第二定律与运动学公式分析答题．
（2）对板与物块进行受力分析，由牛顿第二定律求出 加速度，由运动学公式求出位移，然后根据两者间位移的几何关系分析答题．
（3）求出物体的位移，然后由功的计算公式求出拉力的功．

解答：解：（1）设物块在板上滑行的时间为t₁，
由 a=

μ1mg

M

v=at₁∴t1=

Mv

μ1mg

①
设在此过程中物块前进位移为S₁，板前进位移为S₂，
则S₁=v?t₁②S2=

v

2

t1③S1-S2=

l

2

④
由①②③④得：μ1=

Mv2

mgl

；S2=

l

2

；
故物块与板间的摩擦因数为μ1=

Mv2

mgl

，物块到达板的中点时，板的位移S2=

l

2

．
（2）设板与桌面间摩擦因数为μ₂，物块在板上滑行的时间为t₂，
对木板

[μ1mg-μ2(m+M)g]

M

?t2=v，解得：t2=

Mv

μ1mg-μ2(m+M)g

，
又设物块从板的左端运动到右端的时间为t₃则v?t3-

v

2

?t3=l，t3=

2l

v

，
为了使物块能到达板的右端，必须满足t₂≥t₃即

Mv

μ1mg-μ2(m+M)g

≥

2l

v

μ2≥

Mv2

2(m+M)gl

，
所以为了使物块能到达板的右端，板与桌面间的摩擦因数μ2≥

Mv2

2(m+M)gl

；
（3）设绳子的拉力为T，物块从板的左端到达右端的过程中物块的位移为S₃，
则有T-μ₁mg=0，S₃=v?t₃=2l，
所以由功的计算公式得：WT=T?S3=μ1mg?2l=

Mv2

mgl

?mg?2l=2Mv2，
所以在物块从板的左端到达板的右端的过程中，绳的拉力做功为2Mv²．
（或W=△E_K+△E+W=

1

2

Mv2+μ1mgl+μ2(M+m)gl=2Mv2）
答：（1）物块与板的动摩擦因数μ1=

Mv2

mgl

；物块刚到达板的中点时板的位移

l

2

；
（2）若板与桌面间有摩擦，为使物块能达到板的右端，板与桌面的动摩擦因数的范围为μ2≥

Mv2

2(m+M)gl

；
（3）若板与桌面间的动摩擦因数取（2）问中的最小值，在物块从板的左端运动到右端的过程中，人拉绳的力所做的功为2Mv²．

点评：分析求出物体运动过程、应用牛顿第二定律、运动学公式、功的公式即可正确解题．