Question

18．如图所示，倾角为30°的皮带运输机的皮带始终绷紧，且以恒定速度v=2.5m/s运动，两轮相距L_AB=5m，将质量m=1kg的物体无初速地轻轻放在A处，若物体与皮带间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，取g=10m/s²．求：
（1）物体所受摩擦力的方向和大小，加速度的大小？
（2）物体从A运动到B共需多少时间？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出滑动摩擦力的大小，相对静止后受静摩擦力，结合共点力平衡求出静摩擦力的大小．
（2）物体在传送带上先做匀加速直线运动，速度达到传送带速度后一起做匀速运动，结合运动学公式求出匀加速和匀速运动的时间，

解答 解：（1）物体相对于传送带沿斜面向上运动，所受滑动摩擦力方向沿斜面向下，对物体受力分析，物体受重力、支持力和滑动摩擦力作用，受力分析如图
垂直传送带方向：${F}_{N}^{\;}=mgcosθ$…①
沿斜面方向：mgsinθ+f=ma…②
其中$f=μ{F}_{N}^{\;}$…③
代入数据解得：f=7.5N，$a=12.5m/{s}_{\;}^{2}$
物体与传送带相对静止后有：f′=mgsin30°=5N
（2）设经过时间${t}_{1}^{\;}$，物体与传送带速度相等，有：${t}_{1}^{\;}=\frac{v}{a}=\frac{2.5}{12.5}=0.2s$
${t}_{1}^{\;}$时间内的位移为：${x}_{1}^{\;}=\frac{v}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{2.5}{2}×0.2=0.25m$
因为mgsinθ＜μmgcosθ，所以速度相等后，物体与传送带一起做匀速运动，有：
${x}_{2}^{\;}={L}_{AB}^{\;}-{x}_{1}^{\;}=5-0.25=4.75m$
匀速运动的时间为：${t}_{2}^{\;}=\frac{{x}_{2}^{\;}}{v}=\frac{4.75}{2.5}=1.9s$
物体从A运动到B的总时间为：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=0.2+1.9=2.1s$
答：（1）物体所受滑动摩擦力的方向沿斜面向下和大小7.5N，相对静止后静摩擦力大小5N，方向沿斜面向上；加速度的大小为$12.5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）物体从A运动到B共需时间2.1s

点评 解决本题的关键理清物体在传送带上的运动规律，结合运动学公式和牛顿第二定律综合求解．