Question

（23分）封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O₁，光源一直在发光，并通过圆孔射出．车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示．某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点．在地面参考系中坐标为x_A处放一半径为R（R >r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直．板的圆心O₂ 、S、、O₁都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上．由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况．不考虑光的衍射．试求：

1．车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻． 

2．地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻． 

Answer 1

1．相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度v趋向光源S运动．由S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大．若距S的距离为L处光束的横截面正好是半径为R的圆面，如图所示，

                 

可得

               (1)

设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出．当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住．此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L．在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为

       (2)

故出现挡板完全遮住光束的时刻为

       (3)

    由（1）、（3）式得

       (4)

2．相对于地面参考系，光源与车厢以速度v向挡板运动．光源与孔之间的距离缩短为

                       (5)

而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的距离即挡板完全遮光时距离应为 

         (6)

初始时，挡板离S的距离为x_A，出现挡板完全遮住光束的时刻为

         (7)