Question

17．如图所示，桌面上有一轻质弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端B点位于桌面右侧边缘．水平桌面右侧有一竖直放置、半径R=0.3m的光滑半圆轨道MNP，桌面与轨道相切于M点．在以MP为直径的右侧和水平半径ON的下方部分有水平向右的匀强电场，场强的大小E=$\frac{{m}_{2}g}{q}$．现用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂=0.2kg、带+q的绝缘物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块离开桌面由M点沿半圆轨道运动，恰好能通过轨道的最高点P．（取g=10m/s²）求：
（1）物块m₂经过桌面右侧边缘B点时的速度；
（2）物块m₂在半圆轨道运动时对轨道的最大压力；
（3）释放后物块m₂运动过程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）由于物体恰好能通过轨道的最高点P，因此可以通过竖直平面内的圆周运动的临界条件先求出P点的速度，再使用动能定律求出物体在B点的速度；
（2）物体对轨道的压力最大时的位置，处于重力与电场的复合场的等效重力处，先用动能定律求出物体得到该点的速度，然后代入向心力的公式，再应用难度第三定律进行说明即可．
（3）用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．则弹簧的弹性势能转化为内能，即可求出摩擦因数；
同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块从C到B的过程中，弹簧的弹性势能转化为动能和内能，结合功能关系即可正确解答．

解答 解：（1）在最高点重力提供向心力，由牛顿第二定律得：${m}_{2}g=\frac{{m}_{2}{v}_{p}^{2}}{R}$  ①
B到P的过程中重力和电场力做功，由动能定理得：$qER-{m}_{2}g•2R=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{p}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$  ②
联立①②得：v_B=3m/s     ③
（2）依题意，物块与圆心的连线与竖直方向之间的夹角是45°位置时（设为D点），对轨道的压力最大，物块对应的速度为v_D，根据动能定理得：
qERsin45°-m₂gR（1-cos45°）=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$   ④
$N-\frac{{m}_{2}g}{cos45°}=\frac{{m}_{2}{v}_{D}^{2}}{R}$   ⑤
联立③④⑤得：$N=6\sqrt{2}+2$N⑥
由牛顿第三定律得，物体对轨道的最大压力为$6\sqrt{2}+2$N
（3）由功能关系得：E_P=μm₁gs_CB    ⑦
${E}_{P}-μ{m}_{2}g{s}_{CB}=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$   ⑧
联立⑥⑦⑧得克服摩擦力做功：W_f=μm₂gs_CB=0.9J
答：（1）物块m₂经过桌面右侧边缘B点时的速度是3m/s；
（2）物块m₂在半圆轨道运动时对轨道的最大压力是$6\sqrt{2}+2$N；
（3）释放后物块m₂运动过程中克服摩擦力做的功是0.9J．

点评 该题通过动能定律的方式考查物体在竖直平面内的圆周运动，关键在于竖直平面内的圆周运动的临界条件．属于中档题．