Question

9．如图所示，倾角为θ的斜面上PP′、QQ′之间粗糙，且长为3L，其余部分都光滑．形状相同、质量分布均匀的三块薄木板A、B、C沿斜面排列在一起，但不粘接．每块薄木板长均为L，质量均为m，与斜面PP′、QQ′间的动摩擦因素均为2tanθ．将它们从PP′上方某处由静止释放，三块薄木板均能通过QQ′．重力加速度为g．求：
（1）薄木板A在PP′、QQ′间运动速度最大时的位置；
（2）薄木板A上端到达PP′时受到木板B弹力的大小；
（3）释放木板时，薄木板A下端离PP′距离满足的条件．

Answer 1

分析 （1）薄木板A在PP′、QQ′间运动时，将三块薄木板看成整体，当它们下滑到下滑力等于摩擦力时运动速度达最大值，由此列式求解滑块A的下端离P处的距离．
（2）对三个薄木板整体运用用牛顿第二定律求出整体的加速度，再隔离A，由牛顿第二定律求B对A的作用力．
（3）要使三个薄木板都能滑出QQ′处，薄木板C中点过QQ′处时它的速度应大于零．薄木板C全部越过PP′前，三木板是相互挤压着，全部在PP′、QQ′之间运动无相互作用力，离开QQ′时，三木板是相互分离的．分段由动能定理列式求解．

解答 解：（1）薄木板A在PP′、QQ′间运动时，将三块薄木板看成整体，当它们下滑到下滑力等于摩擦力时运动速度达最大值，则有：
μm_xgcosθ=3mgsinθ
得到：${m_x}=\frac{3}{2}m$
即滑块A的下端离P处1.5L处时的速度最大       
（2）对三个薄木板整体用牛顿第二定律有：
3mgsinθ-μmgcosθ=3ma
得到：$a=\frac{1}{3}gsinθ$
对A薄木板用牛顿第二定律有：F+mgsinθ-μmgcosθ=ma
则得：$F=\frac{4}{3}mgsinθ$
（3）要使三个薄木板都能滑出QQ′处，薄木板C中点过QQ′处时它的速度应大于零．
薄木板C全部越过PP′前，三木板是相互挤压着，全部在PP′、QQ′之间运动无相互作用力，离开QQ′时，三木板是相互分离的．             
设C木板刚好全部越过PP′时速度为v．
①对木板C用动能定理有：$mgsinθ×\frac{5}{2}L-（{μmgcosθ×2L+\frac{3}{4}μmgcosθ×\frac{1}{2}L}）=0-\frac{1}{2}m{υ^2}$，$υ=\sqrt{4.5gLsinθ}$
②设开始下滑时，A的下端离PP′处距离为x，对三木板整体用动能定理有：$3mgsinθ×（{3L+x}）-μ\frac{3}{2}mgcosθ×3L=\frac{3}{2}m{υ^2}-0$
得到：x=2.25L                                    
即释放时，A下端离PP′距离为：x＞2.25L
答：（1）薄木板A在PP′、QQ′间运动滑块A的下端离P处1.5L处时的速度最大；
（2）薄木板A上端到达PP′时受到木板B弹力的大小是$\frac{4}{3}mgsinθ$；
（3）释放木板时，薄木板A下端离PP′距离满足的条件是：释放时，A下端离PP′距离x＞2.25L．

点评 本题首先要正确分析木板的受力情况，判断其运动情况，采用整体法和隔离法结合求木板间的弹力是比较惯用的方法．运用动能定理时，要求同学们能选取合适的过程．