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10.如图所示,平行导轨PP′、QQ′均由倾斜和水平两部分组成,相距为L1.倾斜部分与水平面夹角为θ,虚线pq为两部分的连接处.质量为m0、电阻为r的导体杆ef与导轨的摩擦系数均为μ,且满足μ<tanθ.在虚线pq右侧空间分布有方向竖直磁场Ⅰ,其磁感应强度大小为B1=B0cos$\frac{2π}{λ}$x(竖直向下定为磁场的正方向).式中λ为具有长度单位的常量;x为沿水平轨道向右的位置坐标,并定义pq的x坐标为0.将质量为m、每边电阻均为r、边长为L2的正方形金属框abcd用绝缘柔线悬挂于天花板上a′和b′处,使ab边保持水平,并用细导线将a、b两点与导轨的两端点Q、P相连,金属框处于垂直与向里设置匀强磁场Ⅱ垂直.将ef从倾斜轨道上距水平轨道高为h处由静止释放,为保持导体杆ef能在水平轨道上作匀速运动,现给导体杆施加一x方向的水平作用力F.设ef经过pq时没有因速度方向改变产生能量损失,也不计其余电阻和细导线对a、b两点的作用力,金属框始终保持静止.求:
(1)导体棒ef刚进入磁场时,线框ab边的电压;
(2)磁场Ⅱ的磁感应强度B2应满足的条件;
(3)ef在水平轨道上前进距离λ的过程中,力F所作的功.

分析 (1)根据动能定理求出导体棒ef刚进入磁场时的速度,结合切割产生的感应电动势公式,根据串并联电路的特点得出外电阻,运用欧姆定律求出线框ab边的电压;
(2)根据闭合电路欧姆定律得出通过ab杆和cd杆的电流,抓住线框所受的安培力不超过其重力求出磁场Ⅱ的磁感应强度B2应满足的条件;
(3)根据切割产生的感应电动势公式得出对应的感应电动势大小,电动势变化为余弦曲线,求出有效值,前进λ刚好对应电源e变化一个周期t=$\frac{λ}{v}$,通过电功的公式求出电源在此过程中做功的大小,结合摩擦力做功,运用能量守恒求出外力F做功的大小.

解答 解:(1)设刚进入磁场I时杆的速度为v,有:$mgh-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$,
解得v=$\sqrt{2gh(1-μcotθ)}$,
此时杆的感应电动势为E=B0L1v,
abcd框相对于ab两点的电阻为${R}_{外}=\frac{3{r}^{2}}{r+3r}=\frac{3r}{4}$,
ab边的电压为${U}_{ab}=\frac{E}{r+{R}_{外}}{R}_{外}$=$\frac{3{B}_{0}{L}_{1}\sqrt{2gh(1-μcotθ)}}{7}$.
(2)刚进入时,流过ab杆和cd杆的电流分别为${I}_{1}=\frac{{U}_{ab}}{r}$=$\frac{3{B}_{0}{L}_{1}\sqrt{2gh(1-μcotθ)}}{7r}$,
${I}_{2}=\frac{{U}_{ab}}{3r}$=$\frac{{B}_{0}{L}_{1}\sqrt{2gh(1-μcotθ)}}{7r}$,
线框保持静止,其受到的安培力必不超过其重力,即
B2(I1+I2)L2≤mg,
解得B2≤$\frac{7mgr}{4{B}_{0}{L}_{1}{L}_{2}\sqrt{2gh(1-μcotθ)}}$.
(3)当杆ef在水平轨道上x处时,有x=vt
对应的感应电动势大小为e=${B}_{1}{L}_{1}v={B}_{0}cos(\frac{2π}{λ}x){L}_{1}v$=${B}_{0}{L}_{1}vcos(\frac{2π}{λ}vt)$.
在前进λ为的过程中,其电动势变化为余弦曲线,对应有效值为
$E=\frac{{B}_{0}{L}_{1}v}{\sqrt{2}}$=${B}_{0}{L}_{1}\sqrt{gh(1-μcotθ)}$,
前进λ刚好对应电源e变化一个周期t=$\frac{λ}{v}$,故有电源在此过程中做功为${W}_{e}=\frac{{E}^{2}}{r+\frac{3r}{4}}t$=$\frac{2\sqrt{2}{{B}_{0}}^{2}{{L}_{1}}^{2}\sqrt{gh(1-μcotθ)}}{7r}$,
摩擦力做功为Qf=μm0gλ,
力F做的功等于摩擦产生的热与此过程中电源对外做的功,即WF=Qf+We=$\frac{2\sqrt{2}{{B}_{0}}^{2}{{L}_{1}}^{2}\sqrt{gh(1-μcotθ)}}{7r}$+μm0gλ.
答:(1)导体棒ef刚进入磁场时,线框ab边的电压为$\frac{3{B}_{0}{L}_{1}\sqrt{2gh(1-μcotθ)}}{7}$;
(2)磁场Ⅱ的磁感应强度B2应满足的条件为B2≤$\frac{7mgr}{4{B}_{0}{L}_{1}{L}_{2}\sqrt{2gh(1-μcotθ)}}$;
(3)ef在水平轨道上前进距离λ的过程中,力F所作的功为$\frac{2\sqrt{2}{{B}_{0}}^{2}{{L}_{1}}^{2}\sqrt{gh(1-μcotθ)}}{7r}$+μm0gλ.

点评 本题考查了电磁感应与电路和力学、能量的综合运用,要注意明确电路结构,正确做出受力分析,再通过功能关系进行分析即可,注意第三问产生的感应电动势变化为余弦曲线,可以结合交变电流知识求解.

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