如图所示.内壁光滑.半径为R的圆形轨道固定在竖直平面内.质量为m2的小球静止在轨道最低点.另一质量为m1的小球从左侧内壁与圆心O等高处由静止释放.第一次运动到最低点时与m2碰撞.碰后m2小球恰好能做完整的圆周运动.而m1小球沿右侧内壁上升的最大高度为$\frac{1}{2}$R．求:(1)$\frac{{m} {2}}{{m} {1}}$1,(2)求第一次碰撞� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．

如图所示，内壁光滑、半径为R的圆形轨道固定在竖直平面内，质量为m₂的小球静止在轨道最低点，另一质量为m₁的小球（两球均可视为质点）从左侧内壁与圆心O等高处由静止释放，第一次运动到最低点时与m₂碰撞，碰后m₂小球恰好能做完整的圆周运动，而m₁小球沿右侧内壁上升的最大高度为$\frac{1}{2}$R．求：
（1）$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$₁；
（2）求第一次碰撞刚结束时，m₂小球和m₁小球对轨道的压力之比$\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}$．（结果可用根式表示）

分析（1）对小球m₁的小球下落过程分析，根据机械能守恒定律可求得碰前的速度，再分别根据碰后两球的运动情况进行分析，求出碰后各自的速度，再根据动量守恒定律列式即可求得质量之比；
（2）对碰后两球受力分析，根据向心力公式即可求得压力大小之比．

解答解：（1）对m₁的小球下落过程分析，根据机械能守恒定律可知：
m₂gR=$\frac{1}{2}$m₂v²
解得：v=$\sqrt{2gR}$；
对m₁球受力分析小球恰上升高度为$\frac{1}{2}$R，则根据机械能守恒可知：
m₁g$\frac{1}{2}R$=$\frac{1}{2}$m₁v₁²
解得：v₁=$\sqrt{gR}$
m₂恰好做匀速圆周运动，则在最高点有：m₂g=m₂$\frac{{v'}_{2}^{2}}{R}$
对于上升过程，由机械能守恒定律可知：
m₂g•2R=$\frac{1}{2}$m₂v₂²-$\frac{1}{2}$m₂v'₂²
联立解得：v₂=$\sqrt{5gR}$
设向右为正方向，两球碰撞过程中，动量守恒，则根据动量守恒定律可知
m₁v=m₁v₁+m₂v₂
代入数据解得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\sqrt{5}$（$\sqrt{2}$+1）
（2）根据向心力公式可知，对m₁球有：
F₁-m₁g=m₁$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
对m₂球有：
F₂-m₂g=m₂$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
联立解得：$\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}$=$\frac{3{m}_{2}}{{m}_{1}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}（\sqrt{2}+1）}$=$\frac{3\sqrt{5}（\sqrt{2}-1）}{5}$
答：（1）$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$大小为$\sqrt{5}$（$\sqrt{2}$+1）
（2）求第一次碰撞刚结束时，m₂小球和m₁小球对轨道的压力之比$\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}$为$\frac{3\sqrt{5}（\sqrt{2}-1）}{5}$．

点评本题综合考查了动量守恒、机械能守恒，以及向心力公式等基本内容，要注意正确分析过程，明确在碰撞过程中内力远大小外力可以视为动量守恒，同时再注意小球通过最高点的临界条件分析．

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