Question

14．如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m，导轨平面与水平面成θ=37°角，下端连接阻值为R的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直向上．质量为0.2kg，电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25．
（1）求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；
（2）当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小；
（3）在上问中，若R=2Ω，金属棒中的电流方向由a到b，求磁感应强度的大小和方向．
（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）开始下滑时，速度为零，无感应电流产生，因此不受安培力，故根据牛顿第二定律可直接求解结果．
（2）金属棒下滑速度达到稳定时，金属棒所受合外力为零，根据平衡条件求出安培力，然后根据公式P=Fv求解．
（3）结合第（2）问求出回路中的感应电流，然后根据电功率的公式求解．

解答 解：（1）金属棒开始下滑的速度为零，感应电流为零，则
由牛顿第二定律得：
  mgsinθ-μmgcosθ=ma…①
由①式解得：a=g（sinθ-μcosθ）=10×（O.6-0.25×0.8）m/s²=4m/s²…②
故金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小为 4m/s²．
（2）设金属棒运动达到稳定时，速度为v，所受安培力为F，
棒在沿导轨方向受力平衡，由平衡条件得：mgsinθ-μmgcosθ-F=0…③
此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率：P=Fv…④
由③、④两式解得：v=$\frac{P}{F}$=$\frac{P}{mg（sinθ-μcosθ）}$=$\frac{8}{0.2×10×（0.6-0.25×0.8）}$m/s=10m/s…⑤
故当金属棒下滑速度达到稳定时，棒的速度大小为10m/s．
（3）设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为l，磁场的磁感应强度为B，感应电流为：
 I=$\frac{BLv}{R}$…⑥
功率为：P=I²R…⑦
由⑥、⑦两式解得：B=$\frac{\sqrt{PR}}{Lv}$=0.4T…⑧
故磁感应强度的大小为0.4T，方向垂直导轨平面向上．
答：
（1）金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小为4m/s²；
（2）该速度的大小为10m/s；
（3）在上问中，若R=2Ω，磁感应强度的大小为0.4T，方向垂直导轨平面向上．

点评 解这类问题的突破口为正确分析安培力的变化，正确分析导体棒的运动状态，从力和功率两个角度进行列方程求解．